山东省烟台招远市2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（五四制）（含解析）

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一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键．
根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可．
【详解】解：A、不是方程，不符合题意；
B、含有2个未知数，不符合题意；
C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式，不符合题意；
故选：C ．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，点B，C分别是锐角两边上的点，，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角的四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】由AB=AC=CD=DB，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形ABDC是菱形．
【详解】根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，理由如下：
根据题意得：AB=AC=CD=DB，∴四边形ABDC是菱形．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，是一道基础题，熟记菱形的各种判定方法是解题的关键．
4. 下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A. 和B. 和
C 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，化简二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、和是同类二次根式，能合并，符合题意；
故选：D．
5. 以为根的一元二次方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意；
B、，则，故该选项不正确，不符合题意；
C、，则，故该选项不正确，不符合题意；
D、，则，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，矩形的对角线，则矩形的面积为（ ）
A. 32B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形性质得，根据得，则为等边三角形，由此得，据此可得矩形的面积．
【详解】解：∵四边形为矩形，对角线，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：D．
7. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据条件可得，求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
．
故选：B．
8. 如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；由平角的定义求出，由三角形内角和定理求出，再由平行四边形的对角相等即可得出结果.
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴(平行四边形对角相等）．
故选：B．
9. 当时，关于x的方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：；；；．其中正确的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据四边形是正方形，得到，即可判断；根据已知条件求出，得到，即可判断；连接，交于点，证明，则，，根据勾股定理求出即可判断；根据三角形面积的关系计算，即可判断．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故错误；
如图，连接，交于点，
∵四边形和是正方形，
∴，，，，，，
∴，即
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，故正确；
综上可知：正确的是，共个，
故选：．
二．填空题（本大题共6个小题，每个小题3分，共18分）
11. 使代数式有意义，则x的取值范围是 ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．是一道复合型的题目，要考虑前面是重点．根据分式分母不为零，二次根式被开方数非负，得出不等式组计算即可．
【详解】解：由题意：
则，
故答案为：．
12. 关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可．
【详解】解：∵一元二次方程中不含x的一次项，
即不含x的一次项，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：，
故答案为：．
13. 在矩形中，对角线相交于点O，点E是的中点，点F在对角线上，且，连接，若，则的长为 _________ ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，再由，得到，由此可证明是的中位线，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，即点F为中点，
又∵点E是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3．
14. 三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为____________ ．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长．
【详解】解：，
，
或，
解得，
当时，，不符合三角形的三边关系，所以舍去，
当时，，符合三角形的三边关系，
则三角形三边分别为7、4、4，三角形的周长是，
故答案为：．
15. 已知a、b满足等式，则的值为 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先由非负性的性质求出a、b的值，再把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案．
详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到，设点、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明，求出即可解决问题.
【详解】解：如图，连接交于，
由题意
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形， ，
是等边三角形，
，
，，
∴，
∴，，
∵P是的中点，
∴，
，
，
平行四边形的面积 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.
三．解答题（本大题共9个小题，共72分，请在答题卡指定区域做题）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程：
（1）首先利用平方差公式计算，然后计算加减；
（2）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：整理得：
∴
∴或
∴．
18. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图的方法，证明该图形是正方形，掌握角平分线，线段垂直平分线，等腰直角三角形，正方形判定是解题关键．①作的角平分线； ②在上截取； ③作线段的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，然后证明正方形即为所求．
【详解】解： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点，以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点A与此点作射线，可得的平分线，②在上截取，
③以点A、C为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交的两边于B，D，交于O，为线段的垂直平分线，
连接，则正方形ABCD即为所求．
证明：∵∵为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形为正方形．
19. 小红按某种规律写出4个方程：①；②；③；④．
（1）上述四个方程根的情况如何？为什么？
（2）按此规律，请你写出一个两根都为整数的方程，并解这个方程．
【答案】（1）无实数根，因为它们每个方程的；
（2），或．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，根的判别式．
（1）只要看根的判别式的值的符号就可以了；
（2）二次项的系数恒为1，第4个式子一次项的系数为4，常数项为5，那么第5个式子的二次项的系数为1，一次项的系数为5，常数项为6，解方程即可．
【小问1详解】
无实数根，因为它们每个方程的；
【小问2详解】
，
，
解得或．
20. 如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据，得到，证明，即可得出结论；
（2）过点A作，垂足为，四边形是矩形，由勾股定理得，进而得到，再根据三角形面积公式求出，由勾股定理得，进而得到，在求出 ，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为，
∵四边形矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵ 即 ，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
21. 新运算：对于实数a，b，定义运算“※”：
（1）请解方程；
（2）若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算：
（1）根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（2）根据题意，方程整理得：，即，利用一元二次方程判别式建立不等式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，方程整理得：，则，
解得：；
【小问2详解】
解：根据题意，方程整理得：，即，
∵方程没有实数根，
∴
解之得：，
∴实数m的取值范围是．
22. 在正方形中，是一条对角线，点在线段上（与点、不重合），连接，平移，使点移动到点处，得到，过点作，垂足为，连接，．
（1）根据题意补全图形（画出示意图即可）；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质，三角全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行作图；
（2）连接，过点H作于点E，由题意易得，，进而易证，然后可得，则有，最后问题可求证．
【小问1详解】
解：补全图形如图；
【小问2详解】
证明：连接，
∵四边形是正方形，是一条对角线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移到，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 已知，的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（2）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长．
【答案】（1）5 （2）当时，四边形是菱形，菱形的边长为
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）把代入方程求解m，然后再解方程，求出平行四边形的边长，进而问题得解．
（2）根据菱形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【小问1详解】
解：由题意可得：把代入方程得：，
解之得：，
当时，方程，
解得：，
即的长为2，的长为，
∴平行四边形的周长为：．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴由题意可得此方程有两个相等的实数根，即，
∴，
即，
解得：，
当时，方程为，
解得：，
∴当时，四边形是菱形，菱形的边长为．
24. 观察下列各式：
；
；
；
…．
回答下列问题：
（1）______；当，且为正整数时，______；
（2）______；
（3）拓展延伸，计算：的值．
【答案】（1），
（2）4 （3）
【解析】
【分析】本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律．
（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（3）先将原式提公因式，先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解．
【小问1详解】
解： ；
当，且为正整数时，；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：原式
．
25. 【初步探索】
（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，则他的结论应是______．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）结论：．
理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．