湖南省常德市第四中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省常德市第四中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点作于，利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵平分，，
∴，
∵点是边上一动点，
∴根据垂线段最短得，
故选：．
3. 已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐一计算判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
4. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案．
【详解】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故选：C．
5. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质分别判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
而对角线不一定相等，故不成立，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．
6. 如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（ ）

A. SASB. AASC. SSSD. HL
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定．
【详解】解：，，
，
在和中
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，解题的关键是结合已知条件在图形上的位置选择恰当的判定方法．
7. 下列四个命题中，错误的是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
C. 两条对角线相等的四边形是矩形；
D. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的性质，难度不大．利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；
C、两条对角线相等平行四边形是矩形，不正确，符合题意，
D、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意，
故选：C．
8. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ）
A. 是的平分线B.
C. 点D在线段的垂直平分线上D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
9. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
；
平分，
，
，
；
；
E是的中点，，
；
故选：A．
10. 如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断④正确．
【详解】解：在正方形中，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
在中，，
∴，故②正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出全等是解题的关键，也是本题的突破口．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B=_______．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
所以∠B=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．
12. 如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先根据勾股定理求出长，然后根据斜边上的中线计算是解题的关键．
【详解】解：由题可得：，
又∵M是的中点，
∴，
故答案为：5．
13. 如图，在中，请添加一个条件：______，使得成为矩形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可．
【详解】条件是，理由是：
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：．
14. 菱形中，周长为24，，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是掌握菱形的性质．
【详解】解：∵四边形是菱形，周长为24，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
故答案为：．
16. 若直角三角形的两个锐角的比是，斜边长为8，则最短的直角边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．由题意可求出直角三角形的两个锐角的度数分别为，根据30度的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两个锐角的比是，且两锐角之和为，
∴较大的一个锐角的度数为：，较小的一个锐角的度数为，
∵斜边长为8，所对的直角边为最短边，
∴所对的直角边的长为，
∴最短的直角边长为，
故答案为：．
17. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短______
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可．
【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示：
依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
即的长需要缩短．
故答案为：．
18. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系为______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为，所以构成了个直角三角形，根据勾股定理把直角三角形中三边的关系表示出来，然后再利用等量代换求解即可．
【详解】解：，
，
，，，，
∴，，
．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19. 若一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是几边形？
【答案】这个多边形是十边形
【解析】
【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和，熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中n为边数）是解答本题的关键．结合题意列出等式，求出n即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
由题意，得，
解得，
答：这个多边形是十边形．
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．

（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为__________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】题目主要考查平行四边形的性质及网格与勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质作图即可；
（2）利用网格及勾股定理求出边长，然后求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求；
【小问2详解】
根据网格及勾股定理得：，
，
∴的周长为：，
故答案为：．
21. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给各班分了一块劳动试验基地．其中八（1）班的劳动试验基地如下图，当班主任测量出这块试验基地的米，米，，米，米，你能帮助他们求出试验基地的面积吗？
【答案】平方米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理的应用，掌握勾股定理以及逆定理的应用；学会用割补法去求算图形的面积是解题的关键．连接，利用勾股定理求，再利用勾股定理逆定理求，分别求的面积即可解答．
【详解】解：连接，
米，米，，
∴米，
∵米，米，
即，
∴，
∴试验基地的面积为（平方米）．
22. 如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定和性质，证明，根据即可证明；推出，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，是直角，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
∴，
∴．
23. 如图，在等腰直角三角形中，，D，E分别为边的中点，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，再由，得，且，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再得，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵D，E分别为边的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，
∴．
又，即，
∴四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：∵D为边的中点，
∴．
∵，
∴在中，．
∵四边形为平行四边形，
∴．
24. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．

（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明为矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明可得，然后结合平行线的性质求得，从而得出为矩形．
【小问1详解】
解：①或②
【小问2详解】
添加条件①，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形
【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键．
25. 综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，的对应点分别为点，．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
【答案】（1）四边形为菱形，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，证是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，又由，即可得四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形为菱形；
（2）如图，当与重合时，取最大值，由折叠的性质得，，推出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到；如图，当与重合时，取最小值，由折叠的性质得，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形菱形；
【小问2详解】
解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
26. 点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图①，AF与BD数量关系和位置关系分别为 ；
（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角(0°＜α＜360°)，
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．
②若AC=4，BC=2，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB长度．
【答案】（1）AF=BD，AF⊥BD（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由见解析；②DB的长度为22或22．
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质证明△ACF≌△DCB，得到AF=BD，∠CAF=∠CDB，再通过等量代换即可证明AF⊥BD，从而可得出AF与BD的数量关系和位置关系；
（2）①仍然利用正方形的性质证明△ACF≌△DCB，得到AF=BD，∠CAF=∠CDB，再通过等量代换即可证明AF⊥BD，从而可得出AF与BD的数量关系和位置关系；
②分两种情况：点F在线段AB上或点F在线段AB的延长线上，分别画出图形，利用正方形的性质，勾股定理及（1）种的结论求解即可．
【详解】（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF=BD，AF⊥BD．理由如下：
延长AF交BD于H，如图①所示：
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACF=∠DCB=90°，
∴∠CAF+∠AFC=90°，
在△ACF和△DCB中，，
∴△ACF≌△DCB(SAS)，
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
∵∠DFH=∠AFC，
∴∠CDB+∠DFH=∠CAF+∠AFC=90°，
∴∠DHF=90°，
∴AF⊥BD．
故答案为：AF=BD，AF⊥BD；
（2）①第（1）问的结论仍然成立．理由如下：
设AF交CD于点M，如图②所示：
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠FCB=90°，
∴∠CAF+∠AMC=90°，∴∠ACD+∠DCF=∠FCB+∠DCF，
即∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△DCB中，，
∴△ACF≌△DCB(SAS)，
∴AF=BD，∠CAF=∠CDB．
∵∠DMH=∠AMC，
∴∠CDB+∠DMH=∠CAF+∠AMC=90°，
∴∠DHM=90°，∴AF⊥BD；
②分两种情况：
a、如图③所示：连接CG交BF于O．
∵四边形BCFG是正方形，
∴CB=FB，BF⊥CG，∠BGF=90°，OB=OF=OC=OG，
∴BF=CGBC24，OB=OF=OCBF=2，
∴AO2，
∴AF=AO+OF=22，
由（2）得：AF=DB，
∴DB=22；
b、如图④所示：连接CG交BF于O，
同上得：OB=OF=OCBF=2，AO2，
∴AF=AO﹣OF=22，
由（2）得：AF=DB，
∴DB=22；
综上所述：当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为22或22．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质及定理并分情况讨论是解题的关键．