广东省韶关地区2024-2025学年八年级下学期期中学业水平监测 数学试题（含解析）

这是一份广东省韶关地区2024-2025学年八年级下学期期中学业水平监测 数学试题（含解析），共16页。
3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义：形如叫二次根式．根据二次根式的定义分别进行判定即可．
【详解】解：A、当，无意义，所以A选项错误；
B、是二次根式，所以B选项正确；
C、根指数为3，所以C选项错误；
D、中无根指数，不是二次根式，所以D选项错误．
故选：B．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．最简二次根式根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母不含有根号．
根据最简二次根式的定义即可进行解答．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意；
B. ，是最简二次根式，符合题意；
C. ，不是最简二次根式，不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的加减法则可判断A，B；根据二次根式的乘除法法则可判断C和D．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
4. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 2，4，5D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项．
【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意；
B. ，能与合并，故该选项符合题意；
C. ，不能与合并，故该选项不符合题意；
D. ，不能与合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．
先由矩形的性质得出，结合题意证明是等边三角形即可．
【详解】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故选：B．
7. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ）
A. B. C. 7D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意利用勾股定理得出的值，即可得点C表示的数．
【详解】解：由在数轴上点A表示的数为5，，，以原点O为圆心，以长为半径作弧，
得，
得点C表示的数为,
故选：B．
9. 如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以四边形的面积一半．
【详解】解：设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，
∴．
故选：C．
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则的值是（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出的值即可．
【详解】解：根据题意得：，且，
，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 在二次根式中，字母x的取值范围是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
12. 已知=0，则的值为___________
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用互为相反数定义结合绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解∶，
解得：，
故答案为∶1
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确应用算术平方根和绝对值的性质是解题关键．
13. 如图所示的卡槽中有一块三角形铁片，点，分别是，的中点，若，则该铁片底边的长为 _________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】∵点C，D分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
14. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是_______．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出距离．
根据勾股定理解答即可．
【详解】点P到原点O距离是．
故答案为：5．
15. 如图，将矩形纸片沿对折，使点落在上点处，再次沿对折，对折后点恰好与点重合．若四边形是菱形，，则__．
【答案】10
【解析】
【分析】连接，先证，从而得为等边三角形，再证为等边三角形，进而得，设，则，，于是可得，即可解答．
【详解】解：解：连接，如图：
四边形为矩形，
，，
，
由翻折的性质得：
，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
又，
为等边三角形，
，，
，
，
设，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的翻折变换及性质，理解菱形的四条边都相等，等边三角形的三边相等、三个角都等于；直角三角形中，的角所对的边等于斜边的一半．
三、解答题（一）：本大题共计3小题，每题7分，共计21分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再合并同类二次根式，最后计算二次根式的乘法．
【详解】解：
．
17. 若，，求下列式子的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）15
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的运算，平方差公式及完全平方公式的变形应用．
（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）由，将原式变形为，利用（1）中所求，进而求出答案即可．
【小问1详解】
解：，，

．
【小问2详解】
解：，，，
．
18. 如图，在平行四边形中，点在上，点在上，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先求出，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】四边形是平行四边形
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
四、解答题（二）：本大题共计3小题，每题9分，共计27分．
19. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、，与交于点，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质：
（1）利用正方形性质可得，，易证，，再证明，即可得出结论；
（2）由（1）得：，推出，结合正方形的性质易证， 即可得出结论．
【小问1详解】
证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，．
（1）______，______，______；
（2）试问：是直角吗？请说明理由；
（3）将点在网格上做上下移动，当点在什么位置时，直角三角形？
【答案】（1）
（2）不是直角，理由见解析
（3）当点在或时，直角三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，两坐标间的距离公式，勾股定理逆定理：
（1）利用两坐标间的距离公式即可求解；
（2）利用勾股定理逆定理判断即可；
（3）分，和三种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点、的坐标分别是，，点O为原点，
∴；
【小问2详解】
解：不是直角，理由如下：
由（1）知，
∵，
∴不是直角；
【小问3详解】
解：设，
∵直角三角形，
当时，则，
∴，
整理得：，
解得：；
当时，则，
∴，
整理得：，
解得：；
当时，则，
∴，
整理得：，即，
方程无解；
综上，当点在或时，直角三角形．
21. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

（1）根据题意，______m，______m，______m；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；
（2）设秋千的长度为，则 ，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
【小问1详解】
由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，，；
【小问2详解】
，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：
即，
解得：，
即秋千的长度是．
五、解答题（三）：本大题共计2小题，第22题13分，第23题14分，共计27分．
22. 如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
【答案】(1)相等；(2)垂直；(3)见解析.
【解析】
【分析】（1）连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半,再根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判定即可
（3）由（2）可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
【详解】（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH=BD，EH∥BD．
同理得FG=BD，FG∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．
若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；
若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；
若顺次连接对角线相等且互相垂直四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；
故答案为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
【点睛】此题综合运用了三角形的中位线定理和特殊四边形的判定定理．熟记结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．
23. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【答案】（1）6；（2）8；（3）①当点P在BC上运动时，S△ABP=4t；（0＜t＜4）；②当点P在CD上运动时，S△ABP=16；（4≤t≤6）；③当点P在AD上运动时，S△ABP=-4t+40；（6＜t≤10）；（4）t=2s或t=3s或t=s
【解析】
【分析】（1）根据题意可得BP=2t，进而可得结果；
（2）根据∠A=∠ABC=∠BCD=，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF=AB=4，得DF=4，进而可得t的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上且P到BE与DE距离一样时．
【详解】解：（1）由题意得：BP=2t=2×3=6，
故答案为：6；
（2）如图，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠A=∠ABC=∠BCD=，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=AD-AF=8-4=4，
∴BC+CD+DF=8+4+4=16，
∴2t=16，解得t=8．
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB=×2t×4=4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC=×4×8=16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP=×4×（20-2t）=-4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：
①当点PBC上，且点P到AB与AD距离一样时，
∵点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP=4，
∴2t=4，解得t=2s；
②当点P在BC上，且P到DE与AD距离一样时，如图，过P作PF⊥DE于点F，
则PF=4，
∵PF⊥DE，
∴∠PFE=∠DCE=90°，
∴△PFE和△DCE中，
，
∴△PFE≌△DCE(AAS)，
∴PE=DE=5，
∴BP=BC+CE-PE=8+3-5=6，
∴；
③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
设PC=PH=x，则，
，
∴，
解得：x=1.5，
∴BC+CP=8+1.5=9.5，
∴．
综上所述：t=2s或t=3s或t=s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识．