福建省厦门第六中学2024-2025学年下学期八年级期中检测 数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门第六中学2024-2025学年下学期八年级期中检测 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；
2．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效；
3．可以直接使用2B铅笔作图；
4．本试卷共6页，共三大题，25小题，满分150分．
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 二次根式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可得．
详解】解：由题意得：，
解得，
故选：C．
2. 中，，则斜边的长为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
3. 下列二次根式中，化简后能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
【详解】解：A．不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B． 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
C． 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
D． 与是同类二次根式，能合并，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】解：，，，
，，
，
，
的面积为，
故选：A．
5. 如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形的面积分别是，则最大正方形E的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义得到正方形的面积和即为最大正方形E的面积，
，
最大正方形E的面积为，
故选：D．
6. 如图，直线，点在直线上，点，在直线上，已知，，则直线、间的距离为（ ）
A 6B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、求平行线间的距离，过点作于，根据含角的直角三角形的性质，得出，求出即为直线、间的距离，作辅助线、熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∴，
又∵，，直线，
∴，即直线、间的距离为3，
故选：B．
7. 如图，已知四边形的对角线相交于，则下列条件能判断它是正方形的是（ ）

A. ，，，
B. ，
C. ，
D. ，，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形，故不符合题意；
B、只能判断出四边形是菱形，故不符合题意；
C、，，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，故符合题意；
D、不能判定四边形是正方形，故不符合题意；
故选：C．
8. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
9. 如图，线段是某小区甲乙两栋楼间的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，保安队长小李提出监控不合理，存在盲区，则盲区的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的运用，等腰三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设为盲区的长，过点作于，先由勾股定理求出，再根据等面积法求出，然后在中，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质得到，即可由求解．
【详解】解：如图，设为盲区的长，过点作于，
，，，
，
，即，
，
在中，由勾股定理得：，
监控的半径为，
，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，中，是的中点，在上，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案．
【详解】解：如图，在上取点，使得，连接，
则，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，第11小题每空2分，共6分；14题每空2分，共4分；其余每小题4分，共26分．
11. 化简：（1）______；（2）______；（3）______．
【答案】 ①. ②. ③. ##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，二次根式的性质，解题的关键是掌握相关运算法则．（1）根据二次根式的性质即可求解；（2）根据二次根式的除法法则求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
胡答案为：，，．
12. 在平行四边形中，，的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的对角相等可得，结合，即可得出的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图，数轴上点表示的实数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，实数的知识，根据勾股定理求出半径，再根据数轴进行解答，即可．
【详解】解：由图形可得：，
半径为，
点在原点的左边，
点表示的实数为．
故答案为：．
14. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题可以写成：_________，所写出的命题是_____命题(填“真”或“假”) ．
【答案】 ①. 两个面积相等的三角形是全等三角形 ②. 假
【解析】
【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，全等三角形的判定．正确的写逆命题并判断命题的真假是解题的关键．
根据题意写出逆命题，然后判断命题的真假即可．
【详解】解：由题意知，“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为两个面积相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，
故答案为：两个面积相等的三角形是全等三角形，假．
15. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点，
∵正方形的面积为50，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在和中，，
即，
解得，
即，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
三、解答题：共84分．（第17题8分，第18题6分，第19题4分，第20题6分，第21题10分，第22题10分，第23题12分，第24题14分，第25题14分．）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
（1）先化简二次根式、分母有理化、计算二次根式的乘法，再计算加减即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
得，
解得，
将代入得，
解得，
．
18. 先化简，再求值：，其中a＝－1．
【答案】；．
【解析】
【分析】首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将a的值代入化简后的式子进行计算，得出答案．
【详解】解：原式=
当a=－1时，原式=
【点睛】本题考查分式的化简；二次根式的计算．
19. 如图，已知四边形，，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
由可证得，结合，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论.
详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
20. 汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准．
【答案】该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准
【解析】
【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据题意求出刹车距离是解题的关键．
根据题意，代入数据计算即可．
【详解】解∶ 根据题意得，
解得，
，
该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准．
21. 如图，在矩形中，，点是上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，得到，由翻折的性质得到，得到，即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，，由翻折的性质得到，，，设则，在中 ，即，求出，得到．
【小问1详解】
证明：矩形，
，
，
由翻折的性质得到，
，
；
【小问2详解】
解：矩形，
，，
由翻折的性质得到，，，
设则，
在中 ，即，
解得，
．
22. 如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
（1）在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
（2）经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【答案】（1）见解析；
（2）50万元.
【解析】
【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；
（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
【小问2详解】
解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
23. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，，，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）比较大小：与；
（2）若，且，求a的值；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程．
（1）根据题中分母有理化的方法将两个式子分别化简，再比较即可；
（2）先分母有理化得到，再将开平方得到，代入，即可求解；
（3）先分母有理化得：，，再将整理为，再代入值求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
即；
【小问2详解】
，，
或；
【小问3详解】
，，
．
24. 为解决和规范私家车的停车问题，政府在生活区域中便利的地方画定了停车位．小兮通过查询资料发现：停车位的排列方式分为三种：平行式、倾斜式和垂直式．如图1平行式车位长，宽；如图2，倾斜式车位斜长，两斜线的垂直距离应保持的标准，倾斜角度为，，；如图3，垂直式车位标准为，宽．不考虑车位边线宽度的情况下，
（1）一个倾斜式停车位的面积为______；
（2）在长度为的道路一侧划停车位，最多可以划几个倾斜角为的倾斜式停车位．
（3）现有一新建小区需要规划停车位，已知道路全长，宽，为方便出入，除停车位外，中间留给车辆相向行驶的道路宽度至少为．请问如何规划，能使停车位尽可能多，且不影响车辆运行．（保留小数点后一位）
【答案】（1）
（2）个
（3）倾斜角为的倾斜．可以规划36个车位．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的除法运算，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据平行四边形的面积公式求解即可；
（2）根据勾股定理求出每个车位的水平宽度，用道路总长除以每个车位的水平宽度，即可求解；
（3）分别求出三种排列方式可规划的车位数，即可求解．
【小问1详解】
解：倾斜式车位斜长，两斜线的垂直距离为，每个车位都是平行四边形，
一个倾斜式停车位的面积为，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，作于点，则，
，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
由勾股定理得：，即，
，
最多可以划车位（个）；
【小问3详解】
道路全长，宽，为方便出入，除停车位外，中间留给车辆相向行驶的道路宽度至少为，
可用于规划停车位的宽度为，
平行式规划：
平行式车位长，宽，
一列可规划（个），
总的可规划车位：（个）；
倾斜式规划∶
①当倾斜角为时，由（2）可知，，规划车位只能单列，总的可规划车位：（个）；
②当倾斜角，即时，，则，，
，
规划车位只能单列，
由勾股定理可得：，即，
，
，
规划车位只能单列，总的可规划车位：（个）；
③当倾斜角为，即时，则，，
∵，规划车位可以双列，
，
总的可规划车位：（个）；
垂直式规划：
垂直式车位标准为，宽，道路全长，可用于规划停车位的宽度为，
总的可规划车位：（个），但是中间不能留路，故不符合题意；
综上所述，使停车位尽可能多，且不影响车辆运行，车位应规划为倾斜角为的倾斜．可以规划36个车位．
25. 如图1，四边形中，对角线，互相垂直平分，过A作于H交于K，延长至M，作的平分线，交于E，交于F．
（1）判断四边形的形状并证明；
（2）如图2，连接，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）补全图形：延长，交延长线于G，延长，交延长线于I，探究当时，比较和的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析
（2），理由见解析
（3）当时，；当时，；当时，
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定与性质、
（1）利用菱形的判定可得结论；
（2）先利用菱形的性质，，根据直角三角形斜边中线性质得到，利用垂直定义和等腰三角形的性质推导出，根据角平分线的定义和角的运算得到，进而得到是等腰直角三角形即可得出结论；
【小问1详解】
解：四边形是菱形，证明如下：
四边形中，对角线，互相垂直平分，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：．
理由：由（1）知四边形的形状是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∵的平分线，交于E，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
小问3详解】
解：当时，；当时，；当时，
如图
设，由（2）可得
∵四边形是菱形；
∴
∴
∵
∴
当时，即，是等腰直角三角形，则
∴
即当时，；
当时，则
∴
∵，则
∵，
∴，即
∴；
当时，同理可得，．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．