安徽省合肥市第五十中东校2024-2025学年下学期八年级 数学期中考试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第五十中东校2024-2025学年下学期八年级 数学期中考试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．y＝x2B．
C．x+2＝x2D．2x+1＝5
3．（4分）下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．8，15，19
4．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0时，配方正确的是（ ）
A．B．
C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
6．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1且x≠2D．x≥1且x≠2
7．（4分）分别以一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10B．8C．10或8D．10或6
8．（4分）某商品一月份售价100元，二月份涨价x%，三月份再次涨价0.5x%后售价132元，下列所列方程正确的是（ ）
A．100（1+x%）（1+0.5x%）＝132
B．100（1+x%）•0.5x%＝132
C．100（1+x%+0.5x%）＝132
D．100（1+x%）+100（1+0.5x%）＝132
9．（4分）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．72B．52C．80D．76
10．（4分）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）
A．20B．16C．18D．25
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
11．（5分）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
12．（5分）在没有空气阻力的条件下，自由下落物体的下落距离h（单位：m）与下落时间t（单位：s）有如下关系：h=4.9t2，今有一铁球从h＝44.1m的高处自由落下，则铁球落到地面所用的时间是 s．
13．（5分）如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，AB＝6，则
CE＝ ．
14．（5分）实数a，b，c满足b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0．
（1）当b＝2时，则a＝ ；
（2）实数a的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）解方程：x2+4x+2＝0．
四、（本大题共2小题，每题8分，满分16分）
17．（8分）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，CD＝12，DA＝9，求这个四边形的面积．
18．（8分）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，例如：，等．
【猜想】（1）＝ ；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
五、（本大题共2小题，每题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）化简：；
（2）若，求a的值．
20．（10分）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在左侧墙上时；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，∠DAE＝45°，点D到地面的距离米。
（1）求梯子的长；
（2）求B点到地面的垂直距离BC的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，利用一面长为25米的墙，用总长度51米的栅栏围成一个长方形围栏ABCD，并在中间用栅栏隔开．设栅栏BC的长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若长方形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）长方形栅栏ABCD的面积能达到240平方米吗？若能，请求出BC的长；若不能，请说明理由．
七、（本题满分12分）
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米（看作两点），AD⊥AB，BC⊥AB，且AD＝24千米，BC＝16千米．
（1）求两个村庄之间的距离CD；
（2）现要在线段AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请求出BP的长；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
安徽省合肥市第五十中东校2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不符合题意；
B、是最简二次根式；
C、＝2，不是最简二次根式；
D、＝＝2，不是最简二次根式；
故选：B．
2．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．y＝x2B．
C．x+2＝x2D．2x+1＝5
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可．
【解答】解：y＝x2中有2个未知数，则A不符合题意，
中不是整式，则B不符合题意，
x+2＝x2符合一元二次方程的定义，则C符合题意，
5x+1＝5中未知数的次数是5，则D不符合题意，
故选：C．
3．（4分）下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．8，15，19
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、1+2＝4，不符合题意；
B、32+32＝56，能够成直角三角形，符合题意；
C、42+32≠62，不能够成直角三角形，不符合题意；
D、82+153≠192，不能够成直角三角形，不符合题意，
故选：B．
4．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、与不能合并；
B、7﹣3＝；
C、2×3，故C不符合题意；
D、÷＝＝2；
故选：D．
5．（4分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0时，配方正确的是（ ）
A．B．
C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
【答案】A
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
【解答】解：由题知，
2x2﹣3x﹣1＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+8＝，
（x﹣1）2＝．
故选：A．
6．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＞1且x≠2D．x≥1且x≠2
【答案】B
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
1﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得x≤1．
故选：B．
7．（4分）分别以一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10B．8C．10或8D．10或6
【答案】A
【分析】先求出一元二次方程的解，再结合三角形三边的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
解方程x2﹣6x+5＝0得，
x1＝3，x2＝4．
因为此方程的两根为等腰三角形的腰和底，
当2为腰时，2+2＝3，
故此种情况舍去；
当2为底时，2+7＞4，
则2+8+4＝10，
所以等腰三角形的周长为10．
故选：A．
8．（4分）某商品一月份售价100元，二月份涨价x%，三月份再次涨价0.5x%后售价132元（ ）
A．100（1+x%）（1+0.5x%）＝132
B．100（1+x%）•0.5x%＝132
C．100（1+x%+0.5x%）＝132
D．100（1+x%）+100（1+0.5x%）＝132
【答案】A
【分析】解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+增长率）＝c，那么两次涨价后售价为100（1+x%）（1+0.5x%），然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得两次涨价后售价为100（1+x%）（1+6.5x%），
∴方程为100（1+x%）（3+0.5x%）＝132．
故选：A．
9．（4分）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．72B．52C．80D．76
【答案】D
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+42＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×5＝76．
故选：D．
10．（4分）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）
A．20B．16C．18D．25
【答案】A
【分析】证明∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，再由勾股定理得AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，然后证明AB2+CD2＝AD2+BC2，即可解决问题．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AB2+CD2＝AO3+BO2+CO2+DO7，
AD2+BC2＝AO4+DO2+BO2+CO7，
∴AB2+CD2＝AD4+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝72+44＝20．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
11．（5分）若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】根据题意，由同类二次根式定义可得2m＝6，进而得出m的值．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴6m＝6，
∴m＝3．
故答案为：6．
12．（5分）在没有空气阻力的条件下，自由下落物体的下落距离h（单位：m）与下落时间t（单位：s）2，今有一铁球从h＝44.1m的高处自由落下，则铁球落到地面所用的时间是 3 s．
【答案】3．
【分析】根据题意列出方程44.1＝4.9t2，再根据算术平方根的定义求解可得．
【解答】解：根据题意得44.1＝4.8t2，
则t2＝6，
解得：t＝3或t＝﹣3（舍），
答：铁球落到地面所用的时间为7s．
故答案为：3．
13．（5分）如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，AB＝6，则CE＝ ．
【答案】．
【分析】根据矩形的对边相等可得AD＝BC，CD＝AB，根据翻折变换的性质可得AF＝AD，EF＝DE，利用勾股定理列式求出BF，然后表示出CF，设EC＝x，表示出EF，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，
由翻折的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF＝＝，
所以，CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝4，
设EC＝x，则EF＝DE＝6﹣x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得2+EC6＝EF2，
即24+x2＝（6﹣x）7，
解得x＝，
即EC＝．
故答案为：
14．（5分）实数a，b，c满足b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0．
（1）当b＝2时，则a＝ ﹣1 ；
（2）实数a的取值范围是 a≤ ．
【答案】（1）﹣1；
（2）a≤．
【分析】（1）将b＝2代入b+c﹣1＝0中求得c的值，再将b，c的值代入a﹣bc﹣1＝0中解得a的值即可；
（2）由b+c﹣1＝0可得b＝1﹣c，将其代入a﹣bc﹣1＝0中整理后利用配方法变形，根据偶次幂的非负性即可求得答案．
【解答】解：（1）当b＝2时，
2+c﹣4＝0，
解得：c＝﹣1，
将b＝7，c＝﹣1代入a﹣bc﹣1＝4中可得a+2﹣1＝5，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）∵b+c﹣4＝0，
∴b＝1﹣c，
∵a﹣bc﹣6＝0，
∴a＝bc+1
＝（7﹣c）c+1
＝﹣c2+c+6
＝﹣（c2﹣c）+1
＝﹣（c7﹣c+﹣）+1
＝﹣（c﹣）2+≤，
故答案为：a≤．
三、（本大题共2小题，每题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【答案】5．
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝5．
16．（8分）解方程：x2+4x+2＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+4x+5＝0
∴x2+8x＝﹣2
∴x2+5x+4＝﹣2+4
∴（x+2）2＝3
∴x＝﹣2
∴x7＝﹣2+，x4＝﹣2﹣
四、（本大题共2小题，每题8分，满分16分）
17．（8分）在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，CD＝12，DA＝9
【答案】114．
【分析】先利用勾股定理可得AC的长，根据勾股定理逆定理判定∠D＝90°，然后再求面积即可．
【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝17，CD＝12，
∴AC＝＝＝15，
∵122+32＝152，
∴CD3+AD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：×8×15+．
18．（8分）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，例如：，等．
【猜想】（1）＝ 5 ；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式
【答案】（1）5；
（2）＝n（n为整数，且n≥2），证明见解析．
【分析】（1）根据题干中的等式写出答案即可；
（2）根据已知等式总结规律并证明即可．
【解答】解：（1）原式＝5，
故答案为：3；
（2）由已知等式可得规律为＝n，且n≥5）
＝
＝
＝•
＝n．
五、（本大题共2小题，每题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）化简：；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）1﹣a；
（2）a的值为．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后解不等式求得a＜1，即可得到＝1﹣a；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝a，再根据得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，代入即可得到4﹣2a＝3，解得a＝．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣6a＞0，
解得a＜1，
∴＝1﹣a；
（2）根据题意得x5+x2＝2，x3x2＝a，
∵，
∴（x1+x2）3﹣2x1x2＝3，
即4﹣2a＝3，
解得a＝，
∵a＜1，
∴a的值为．
20．（10分）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在左侧墙上时；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，∠DAE＝45°，点D到地面的距离
（1）求梯子的长；
（2）求B点到地面的垂直距离BC的长．
【答案】（1）梯子的长为8米；
（2）B点到地面的垂直距离BC的长4．
【分析】（1）在Rt△ADE中，根据sin∠DAE＝，求出AD即可；
（2）在Rt△ABC中，根据sin∠BAC＝，求出BC即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，，sin∠DAE＝，
∴AD＝＝4÷，
答：梯子的长为8米；
（2）∵AB＝AD，
∴AB＝8（米），
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，
∴BC＝AB•sin60°＝8×＝6，
答：B点到地面的垂直距离BC的长4．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，利用一面长为25米的墙，用总长度51米的栅栏围成一个长方形围栏ABCD
（1）AB＝ （51﹣3x） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若长方形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）长方形栅栏ABCD的面积能达到240平方米吗？若能，请求出BC的长；若不能
【答案】（1）（51﹣3x）；
（2）10米；
（3）长方形栅栏ABCD的面积不能达到240平方米，理由见解答．
【分析】（1）利用AB的长＝栅栏的总长度﹣3×BC的长，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据长方形围栏ABCD的面积为210平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长25米，即可确定结论；
（3）假设长方形栅栏ABCD的面积能达到240平方米，根据长方形围栏ABCD的面积为240平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏ABCD的面积不能达到240平方米．
【解答】解：（1）根据题意得：AB＝（51﹣3x）米．
故答案为：（51﹣3x）；
（2）根据题意得：x（51﹣7x）＝210，
整理得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x2＝7，x2＝10，
当x＝3时，51﹣3x＝51﹣3×8＝30＞25，舍去；
当x＝10时，51﹣3x＝51﹣3×10＝21＜25．
答：栅栏BC的长为10米；
（3）长方形栅栏ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下：
假设长方形栅栏ABCD的面积能达到240平方米，
根据题意得：x（51﹣5x）＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）6﹣4×1×80＝﹣31＜6，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即长方形栅栏ABCD的面积不能达到240平方米．
七、（本题满分12分）
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量＝该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（1000﹣10y）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，
根据题意得：100（2+x）2＝114，
解得：x1＝5.2＝20%，x2＝﹣4.2（不符合题意，舍去）．
答：该车间4月份到5月份生产数量的平均增长率为20%；
（2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，
根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，
整理得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y8＝50，y2＝80，
又∵要尽可能让车企得到实惠，
∴y＝50．
答：该零件的实际售价应定为50元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，铁路（看作线段）上A、B两点相距40千米（看作两点），AD⊥AB，BC⊥AB，且AD＝24千米，BC＝16千米．
（1）求两个村庄之间的距离CD；
（2）现要在线段AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请求出BP的长；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
【答案】（1）24（千米）；
（2）24千米；
（3）20．
【分析】（1）根据勾股定理求解；
（2）根据勾股定理列方程求解；
（3）根据两点之间的距离公式转换为最短路径问题求解．
【解答】解：过C作CE⊥AD于E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴四边形ABCE为矩形，
∴CE＝AB＝40千米，AE＝BC＝16千米，
∴DE＝AD﹣AE＝8千米，
∴CD＝＝24；
（2）设BP＝x（千米），则AP＝（40﹣x）千米，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD2+AP6＝BC2+BP2，即：245+（40﹣x）2＝162+x8，
解得：x＝24，
∴BP＝24千米；
（3）如备用图：代数式的最小值表示在AB上的F到C，
∴代数式的最小值为：．素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
D
A
B
A
A
D
A
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？