安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年八年级下学期 数学期中测试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年八年级下学期 数学期中测试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念依次对各选项判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．理解和掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”．根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加法和除法运算法则，二次根式性质，是解题的关键．二次根式加法和除法运算法则，二次根式性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、3与不能合并，所以A选项错误；
B、，所以B选项正确；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、，所以D选项错误．
故选：B．
4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①：②；③；④．
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】①符合一元二次方程的四个条件，故方程是一元二次方程；
②中时方程不一元二次方程，故方程不一定是一元二次方程；
③变形为，故方程不是一元二次方程；
④是分式方程，故不是一元二次方程；
综上分析可知，只有①是一元二次方程，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6. 如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形与数轴的结合，通过已知条件，求解直角三角形斜边通过旋转落在数轴上点的位置．
根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解．
【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1，
∴直角三角形的斜边长为，
因此A点表示的数为．
故选C．
7. 若，则等于（ ）
A. 1B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴，
∴．
故选D．
8. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
9. 中， ，，点是边上的动点，过点作于点，于点，则的长（ ）
A. 4.8B. 4.8或3.8
C. 9.6D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和．
根据题意画出图形，然后过A点作于F，连结，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得的长，由图形得 ，代入数值，解答出即可．
【详解】解：过A点作于F，连结，
∵在 中，，，
∴，
∴在 中
，
∴，
即，
∴．
故选A．
10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则a的值为（ ）
A. B. C. 1或D. 6或
【答案】B
【解析】
【分析】先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，利用，得到，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．
【详解】解：根据题意得
解得，
根据根与系数的关系得：，，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得，，
而a＜3，
∴a的值为，
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记根的判别式以及根与系数之间的关系．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 比较大小：_______（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
12. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边上的高为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出斜边，在根据面积相等即可求出高．
【详解】解：根据勾股定理可得，
斜边为 ，
设斜边上高为h根据三角形面积公式可得，
，
解得 ，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理及三角形面积公式，解题关键是利用等积法换算斜边的高．
13. 一直角三角形的三边分别为8，15，，那么以为边长的正方形的面积为_______．
【答案】289或161##161或289
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况讨论，熟练运用勾股定理进行计算．以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：8和15是直角边，x是斜边或8和x是直角边，15是斜边，运用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：当8和15是直角边，x是斜边时，则；
当8和x是直角边，15是斜边，则，
∴以为边长的正方形的面积为：289或161．
故答案为：289或161．
14. 如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处．
（1）如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是______；
（2）如图2，若点P使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，则点的坐标为_____．
【答案】 ①. 2 ②. 或
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，矩形的性质，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论．
（1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，最后根据线段的和差即可求解；
（2）过点作交于点，交于点，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠的性质得，
，
故答案为：；
（2）如图所示，过点作交于点，交于点，
，
，
四边形是矩形，
，
当时，，，
由折叠得：，
，
，
点的坐标为；
当时，，，
由折叠得：，
，
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题（本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，乘法公式的应用，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．
（1）先化简，再算加减即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了解一元二次方程．先分解因式，即可得两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
，
17. （1）如图1，的顶点都在正方形网格的格点上，若每个小方格的边长均为1，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）在图2的网格中画出边长分别为的格点三角形（顶点均在网格格点上的三角形称为格点三角形）
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）先利用勾股定理分别求出的长，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）如图，．
18. 观察下列各式：

（1）猜想的变形结果．
（2）针对上述各式反映的规律，给出用（为任意自然数，且）表示的等式，并进行证明．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了与实数相关的规律，二次根式的性质，解题的关键在于能够根据题意找到规律．
（1）根据题意写出第五个式子即可；
（2）根据式子间的规律可以发现第n个式子为．
【小问1详解】
解：由题意得，第五个式子为．
【小问2详解】
解：第n个式子为，理由如下：
，
∴．
19. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度．

【答案】绳索的长度是
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以绳索AD的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）故k的值为1或．
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系：
（1）通过计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得，再利用得到，从而得到满足条件的k的值．
【小问1详解】
证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：根据根与系数的关系得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
故k的值为1或．
21. 如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为秒．
（1）当时，求的面积．
（2）当是等腰三角形时，求的值．
【答案】（1）
（2）5或或4
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）过点C作于H，先根据勾股定理求出，再根据等面积法计算即可；
（2）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作于H，
在中，，，，
由勾股定理得：．
，
则，
解得： ，
当时，，
则；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，
∴；
当时，，
则，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
；
当时，
，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
，
．
综上所述，是等腰三角形时，的值为5或或4，
故答案为：5或或4．
22. “抖音直播带货”已经成为时尚销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元?
【答案】（1）每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为
（2）当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元
【解析】
【分析】(1)由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可；
(2)由题意得关于x的医院二次方程，解一元二次方程可得答案．
【小问1详解】
由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，
设其函数关系式为，
将，代入，得，解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为﹔
【小问2详解】
根据题意得：，
整理得，，解得，，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
∴，即，
∴不合题意应舍去，∴．
∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元．
【点睛】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
23. 问题背景：如图1，设P是等边内一点，，，，求的度数．小君研究这个问题的思路是：将绕点A逆时针旋转得到，易证：是等边三角形，是直角三角形，所以．
简单应用：
（1）如图2，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，则_______°．
（2）如图3，在等边中，P为内一点，且，，，求长．
（3）拓展延伸：若图4中的等腰直角，与，，在的同侧，若，，求的长度．
【答案】（1）45 （2）13
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用旋转得出，， ，再根据勾股定理得出，最后用勾股定理的逆定理得出是以为斜边的直角三角形，即可得出结论；
（2）同（1）方法得出，进而得出，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）先利用旋转得出，，，，再判断出点在的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图2，将绕点C逆时针旋转得到，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
根据旋转可知：，， ，
∴，
根据勾股定理得， ，
∵，，
∴，
∴是以为斜边直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：45；
小问2详解】
解：如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
根据旋转可知：，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
根据勾股定理得， ，
∴；
【小问3详解】
解：如图4，连接，将绕点B顺时针旋转得到，与的交点记作G，
根据旋转可知：，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在的延长线上，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，负值舍去．
【点睛】本题主要考查了三角形的旋转变换，涉及了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，灵活的利用三角形的旋转变换添加辅助线是解题的关键．