河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月份半月考数学试题（历史方向）（原卷版+解析版）

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月份半月考数学试题（历史方向）（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了 已知，则， 若函数的最小正周期为，则， 已知函数，则结论正确的是， 关于函数有下叙述四个结论， 下列说法正确的是， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题
1. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ）
A 2B. C. 或2D. 或
2. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数的最小正周期为，则（ ）
A. B. 3C. D.
5. 若函数图象与直线的两相邻公共点的距离为.要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ）
A. 个单位长度B. 个单位长度
C. 个单位长度D. 个单位长度
6. 已知函数，则结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点中心对称B. 的图象关于直线对称
C. 在区间内有2个零点D. 在区间上单调递增
7. 关于函数有下叙述四个结论：
①是偶函数
②在区间单调递增
③周期是
④在上有3个零点，其中所有正确的结论的编号是（ ）
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
8. 已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
二､多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的终边经过，，则
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 若角和角终边关于y轴对称，则
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式的解集为
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若区间上单调递减，则或
三､填空题
12. 若将时钟拨慢，则分针转过的角是______；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是______．
13. 将函数y=图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
14. 已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
16. 已知函数的最小正周期为，且．
（1）求函数的解析式，并求的最大值与最小值；
（2）求函数的单调递减区间．
17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱（挂在轮边缘）里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的半径为60米，其中心距离地面70米，开启后沿逆时针方向匀速旋转，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．
（1）设乘客P坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面高度为h米，求在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；
（2）摩天轮在转动一圈的过程中，乘客距离地面超过100米的时间有多长？
18. 已知函数（其中为常数）
（1）求的单调递减区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围.
19. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
新蔡一高2024-2025学年度高一下期3月份半月考
文科数学试题
一､单选题
1. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ）
A. 2B. C. 或2D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义计算可得.
【详解】解：因为点是角终边上的一点，且，
所以，解得或.
故选：D
2. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
所以扇形的面积为，所以，
又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】.
故选：C.
4. 若函数的最小正周期为，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最小正周期得到方程，求出.
【详解】因为的最小正周期为，所以，得.
故选：D
5. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为.要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ）
A. 个单位长度B. 个单位长度
C. 个单位长度D. 个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】由周期求得，再结合平移规则即可求解.
【详解】由题意可知的最小正周期为，
所以，
即，
所以只需将函数的图象向左平移个单位长度；
故选：A
6. 已知函数，则结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点中心对称B. 的图象关于直线对称
C. 在区间内有2个零点D. 在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性.
【详解】A：，故不对称中心，错误；
B：，故不是对称轴，错误；
C：在，则，故，可得，所以为在内的唯一零点，错误；
D：在，则，故递增，正确.
故选：D
7. 关于函数有下叙述四个结论：
①是偶函数
②在区间单调递增
③周期是
④在上有3个零点，其中所有正确的结论的编号是（ ）
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】由奇偶性得到函数图像，逐项判断即可.
【详解】，偶函数，①对；
当时，，所以当时，的图像与一致，再结合偶函数的对称性可得整体图像如下图：
由图像可知：在区间单调递减；②错；
不具有周期性，③错；
在上有3个零点，④对；
故选：C
8. 已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换求得，根据是奇函数求得，结合在上的单调性求得的最大值.
【详解】依题意，为奇函数，
则，即，
由于，所以，，
因为，则，
由于在上单调递增，
可得，解得，所以的最大值为.
故选：C.
二､多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的终边经过，，则
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 若角和角的终边关于y轴对称，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义判断A的真假；根据诱导公式和余弦函数的单调性判断B的真假；根据三角函数的符号判断角的终边所在位置判断C的真假；根据角的终边的位置关系结合诱导公式判断D的真假.
【详解】对A：当时，，当时，，所以A不正确；
对B：因为，，又函数在上单调递减，，所以，即，所以B正确；
对C：由，则为第一或第四象限角或的终边在轴的非负半轴上，故C不正确；
对D：由角和角的终边关于y轴对称，所以，，所以，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D.
【详解】对A，，A正确；
对B，的最小正周期，B错误；
对C，由得，
所以图象的对称中心为，C正确；
对D，由得，
所以，解得，D正确.
故选：ACD
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.
【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，
所以，且①，B选项正确.
则，
所以
，
由于是奇数，所以是偶函数，
A选项错误.
C选项，，
将代入得：
，
整理得，
由于在区间上有且仅有条对称轴，
所以，解得，由于，所以，
对应，所以C选项正确.
D选项，在区间上单调递减，
，
将代入得：
，
整理得，
则，解得，而，所以或，
时，，符合单调性，
时，，不符合单调性，所以舍去
所以，所以D选项错误.
故选：BC
三､填空题
12. 若将时钟拨慢，则分针转过的角是______；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是______．
【答案】 ①. 120°## ②. ##
【解析】
【分析】根据角的定义即可按比例求解.
【详解】需要拨慢20分钟，则逆时针转动，故分针转过的角是120°，
时针从6时走到9时，是顺时针走动的，所以时针转过的度数为，
故答案为：120°，
13. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，由时，得到，
结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，
解得，
因为，所以，所以，
当时，可得，
因为在内有5个零点，结合正弦函数性质可得，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数平方关系、商的关系即可求解；
（2）结合诱导公式，弦化切即可求解.
【小问1详解】
由及，
可得：，又，
所以
【小问2详解】
16. 已知函数的最小正周期为，且．
（1）求函数的解析式，并求的最大值与最小值；
（2）求函数的单调递减区间．
【答案】（1）；最大值为，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的周期公式和特殊角的三角函数值求出，再根据三角函数的图象和性质求最值即可；
（2）根据正弦函数的图象和性质，利用整体法求解即可.
【小问1详解】
因为的最小正周期为，且，
所以，解得，，
因为，所以，即，
所以，，解得，
又因为，所以，
所以，的最大值为，的最小值为．
【小问2详解】
由（1）得，
若单调递减，则，
即，
所以的单调递减区间为.
17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱（挂在轮边缘）里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的半径为60米，其中心距离地面70米，开启后沿逆时针方向匀速旋转，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．
（1）设乘客P坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面高度为h米，求在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；
（2）摩天轮在转动一圈的过程中，乘客距离地面超过100米的时间有多长？
【答案】（1）
（2）10分钟
【解析】
【分析】（1）画出简图建立数学模型，根据圆周运动的特点写出满足的函数关系式即可；
（2）令，计算即可得.
【小问1详解】
如图设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，游客上座舱时位于点，以为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要min，可知座舱转动的角速度约为，
由题意得，；
【小问2详解】
由（1）知，令,
则，故，
解得
所以在摩天轮转动的一圈内，有分钟游客距离地面的高度不小于100米．
18. 已知函数（其中为常数）
（1）求的单调递减区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调性计算求解；
（2）根据正弦函数值域计算求参；
（3）根据正弦函数值域及2个交点计算求参
【小问1详解】
由，
解得.
函数的单调减区间为.
【小问2详解】
.
的最大值为
小问3详解】
由（2）得：
.
又
19. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
【答案】（1）,图象如图所示
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得；
（2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值；
（3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.
【小问1详解】
设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
在直角坐标系中作图如下：
【小问2详解】
依题意，是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
【小问3详解】
由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的图象性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
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