河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月份半月考数学试题（物理方向）（原卷版+解析版）

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月份半月考数学试题（物理方向）（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ）
A. 2B. C. 或2D. 或
2. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为π，要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ）
A. 个单位长度B. 个单位长度
C. 个单位长度D. 个单位长度
5. 已知函数，则结论正确的是（ ）
A. 图象关于点中心对称B. 的图象关于直线对称
C. 在区间内有2个零点D. 在区间上单调递增
6. 已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
7. 关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
8. 已知函数部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（ ）
A. B.
C. 在上单调递减D. 函数的图象关于点中心对称
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的终边经过，，则
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 若角和角的终边关于y轴对称，则
10 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式的解集为
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
三、填空题
12. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
13. 已知是第一象限角，且，则__________.
14. 已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
16. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱（挂在轮边缘）里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的半径为60米，其中心距离地面70米，开启后沿逆时针方向匀速旋转，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．
（1）设乘客P坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面高度为h米，求在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；
（2）摩天轮在转动一圈的过程中，乘客距离地面超过100米的时间有多长？
18. 已知函数（其中为常数）
（1）求的单调递减区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围.
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）将函数图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值.
新蔡一高2024-2025学年度高一下期3半月份月考
理科数学试题
一、单选题
1. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ）
A. 2B. C. 或2D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义计算可得.
【详解】解：因为点是角终边上的一点，且，
所以，解得或.
故选：D
2. 已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
所以扇形的面积为，所以，
又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】.
故选：C.
4. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为π，要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ）
A. 个单位长度B. 个单位长度
C. 个单位长度D. 个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数的周期，然后根据函数解析式以及平移规则求解即可.
【详解】由题意，得，解得，所以，其图象向左平移个单位长度，
可得的图象，即为的图象，
所以，解得，又，则；
故选：D．
5. 已知函数，则结论正确的是（ ）
A. 图象关于点中心对称B. 的图象关于直线对称
C. 在区间内有2个零点D. 在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性.
【详解】A：，故不是对称中心，错误；
B：，故不是对称轴，错误；
C：在，则，故，可得，所以为在内唯一零点，错误；
D：在，则，故递增，正确.
故选：D
6. 已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换求得，根据是奇函数求得，结合在上的单调性求得的最大值.
【详解】依题意，为奇函数，
则，即，
由于，所以，，
因为，则，
由于在上单调递增，
可得，解得，所以的最大值为.
故选：C.
7. 关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
8. 已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（ ）
A. B.
C. 在上单调递减D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，即求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断.
【详解】由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，
所以．
则函数的周期为4，由，，可得，
又，所以，则，
将点代入，得，
则，．而，则，
所以
则，A错误；
，B错误；
若，则，显然函数不是单调的，C错误；
，
所以函数的图象关于点中心对称，D正确.
故选：D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的终边经过，，则
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 若角和角的终边关于y轴对称，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义判断A的真假；根据诱导公式和余弦函数的单调性判断B的真假；根据三角函数的符号判断角的终边所在位置判断C的真假；根据角的终边的位置关系结合诱导公式判断D的真假.
【详解】对A：当时，，当时，，所以A不正确；
对B：因为，，又函数在上单调递减，，所以，即，所以B正确；
对C：由，则为第一或第四象限角或的终边在轴的非负半轴上，故C不正确；
对D：由角和角的终边关于y轴对称，所以，，所以，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 图象的对称中心为
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接代入计算可判断A；根据正切函数周期性可判断B；根据正切函数的对称性，整体代入求解可判断C；利用正切函数单调性解表示可判断D.
【详解】对A，，故A正确；
对B，的最小正周期，B错误；
对C，由得，
所以图象的对称中心为，C正确；
对D，由得，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.
【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，
所以，且①，B选项正确.
则，
所以
，
由于是奇数，所以是偶函数，
A选项错误.
C选项，，
将代入得：
，
整理得，
由于在区间上有且仅有条对称轴，
所以，解得，由于，所以，
对应，所以C选项正确.
D选项，在区间上单调递减，
，
将代入得：
，
整理得，
则，解得，而，所以或，
时，，符合单调性，
时，，不符合单调性，所以舍去
所以，所以D选项错误.
故选：BC
三、填空题
12. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
13. 已知是第一象限角，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可.
详解】由题意可得，即，
因为是第一象限角，所以，，，
所以，，
所以，
故答案为：
14. 已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，由时，得到，
结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，
解得，
因为，所以，所以，
当时，可得，
因为在内有5个零点，结合正弦函数的性质可得，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角的三角函数关系计算可得；
（2）由诱导公式化简可得.
【小问1详解】
由题意可得，
.
【小问2详解】
.
16. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
【答案】（1）,图象如图所示
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件依次确定值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得；
（2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值；
（3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.
【小问1详解】
设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
在直角坐标系中作图如下：
【小问2详解】
依题意，是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
【小问3详解】
由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的图象性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱（挂在轮边缘）里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的半径为60米，其中心距离地面70米，开启后沿逆时针方向匀速旋转，乘客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．
（1）设乘客P坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面高度为h米，求在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式；
（2）摩天轮在转动一圈的过程中，乘客距离地面超过100米的时间有多长？
【答案】（1）
（2）10分钟
【解析】
【分析】（1）画出简图建立数学模型，根据圆周运动的特点写出满足的函数关系式即可；
（2）令，计算即可得.
【小问1详解】
如图设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，游客上座舱时位于点，以为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要min，可知座舱转动的角速度约为，
由题意得，；
【小问2详解】
由（1）知，令,
则，故，
解得
所以在摩天轮转动的一圈内，有分钟游客距离地面的高度不小于100米．
18. 已知函数（其中为常数）
（1）求的单调递减区间；
（2）若时，的最大值为4，求的值；
（3）在（2）的条件下方程在上有两个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调性计算求解；
（2）根据正弦函数值域计算求参；
（3）根据正弦函数值域及2个交点计算求参.
【小问1详解】
由，
解得.
函数的单调减区间为.
【小问2详解】
.
的最大值为
【小问3详解】
由（2）得：
.
又
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象可求周期与振幅，再根据最高点可求初相位，从而可得函数解析式；
（2）利用图象变换可求，根据在上的单调性可求的值，从而可求的值.
【小问1详解】
由图可得
又，所以，所以，
所以，
又因为过点，
所以，
又，所以，
所以.
令，
所以递增区间为.
【小问2详解】
将函数的图象上所有的点向左平移个单位，
则所得图象对应的解析式为，
再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象，
则，
当时，，
而在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，
故在上为减函数，在上为增函数，为减函数，
，，故当时， 函数的函数图像如下，
因为在上有三个不相等的实数根，故.
且，，
所以，故.
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