河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是（ ）
A B. C. D.
3. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递减
C. 上不单调D. 在上单调递增
4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
6. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式解集为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若方程有两个不相等的实数根，则
C. 存在，使
D. 若不等式恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在处可导，若，则__________．
13. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的容积最大为432，则__________.
14. 已知函数，的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，为的导函数，则的极小值点为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值．
（1）求、；
（2）求在上的单调区间．
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的极值；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若0为的极大值点，且极小值为，求；
（3）若的导函数只有一个极值点，求的取值范围．
18. 已知函数．
（1）若在（0，1）上不单调，求的取值范围；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．
19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与“契合函数”，为“契合点”．
（1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
（2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
①求的取值范围；
②若，证明：．
卓越联盟2024—2025学年高二第二学期第一次月考
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的求导公式及求导法则判断各选项即可.
【详解】因为是常数，所以，故A错误；
，所以B错误；
，所以C错误；
，D正确.
故选：D
2. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出导函数，再根据导函数大于等于0得出函数增区间即可.
【详解】因为，所以当时，，即的单调递增区间是．
故选：A.
3. 已知函数导函数在上的图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递减
C. 在上不单调D. 在上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的图象判断区间符合，进而得到原函数的区间单调性，判断各项的正误.
【详解】由图，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故A不正确；
当时，，所以在上单调递减，故B正确；
当时，，所以在上单调递增，故C不正确；
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
故选：B
4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性，由函数单调递增，得到导函数恒成立，从而转化为二次函数恒成立问题处理即可，注意检验导数等于0的点不构成区间.
【详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立，则，得．经检验，此时在上单调递增.
故选：C.
5. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围.
【详解】函数在上有极值，
即在上有变号零点，
也即方程在上有两不等实根，
由可得，当且仅当时，等号成立，
故需使.
故选：B.
6. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案.
【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）．
因为，所以曲线在点处的切线与直线平行．
因为点到直线的距离为，所以所求最小值为．
故选：C.
7. 已知函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，利用导数求解单调区间.
【详解】由，
则
，
令，解得或，
所以的单调递增区间是，.
故选：D.
8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解.
【详解】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解.
【详解】令，则，设切点为，
则切线方程为，
将点代入，整理得，
即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为．
故答案为：AC.
10. 若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意分析可得原题意等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，求导，利用导数判断单调性，结合图象分析可解得的取值范围，即可判断.
【详解】∵函数在上有两个不同的平均值点，
∴方程在有两个不同的根，
即在有两个不同的根.
∴直线与函数的图象在上有两个交点.
则，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
且，，
故.

故选：BC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若方程有两个不相等的实数根，则
C. 存在，使
D. 若不等式恒成立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A：利用导数求解出函数单调性，结合函数的单调性和最值求解结果，选项B：由，得，所以然后进行换元，将问题转化为与有两个交点，得到，选项C：因为，且当时，,则转化为得到结果，选项D:
将问题表述通过代数变形转化为即．
利用的单调性结合，
等价于，转化为求解即可.
【详解】因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
由上单调递减，得，所以A正确．
由，得，所以．
易知函数在上单调递增．令，则，所以，即与有两个交点，所以，故B正确．
因为，且当时，，所以由，得，故C错误．
由，得，所以，即．
令，易知函数在上单调递增．
因为，所以，所以，所以，，故正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数在处可导，若，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据导数定义计算求解即可.
【详解】因为，所以．
故答案为：4.
13. 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的容积最大为432，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则，进而可得方盒的容积为，.利用导数研究函数的单调性，可知在处取得最大值，列方程即可求解.
【详解】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则.
所以无盖方盒的容积为，.
则，
令，解得；令，解得.
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值即最大值，所以，
，解得，即该方盒的边长为.
故答案为：.
14. 已知函数，的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，为的导函数，则的极小值点为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数性质得出的解析式，利用导数可得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以．
因为为偶函数，所以，所以，
所以，所以．
因为，
所以在上单调递增，在，上单调递减，所以的极小值点为．
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值．
（1）求、；
（2）求在上的单调区间．
【答案】（1），
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，可得出关于、方程组，即可解出、的值；
（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数在上的单调减区间和增区间.
【小问1详解】
因为，所以．
因为，，所以，．
且当，时，，
则，
令可得或，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，合乎题意，因此，，．
【小问2详解】
由（1）知，函数在上的单调递增区间为、，
单调递减区间为.
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的极值；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）极大值为，无极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）由曲线在点处的切线方程为，得到从而求出的值，确定函数的解析式，再利用导数研究极值即可；
（2）将恰有两个零点，转化为关于的方程在上恰有两个解，进而转化为直线与曲线恰有两个交点．通过研究函数的性质即可求解.
【小问1详解】
因为，所以．
因为曲线在点处的切线方程为，
所以得
所以，所以（）．
令，得或（舍去）．
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，无极小值．
【小问2详解】
因为恰有两个零点，
所以关于的方程在上恰有两个解，
所以关于的方程在上恰有两个解，
即直线与曲线恰有两个交点．
令，则．
当时，；当时，．
所以在（0，e）上单调递增，在上单调递减，所以．
因为当时，，当时，，
所以当时，直线与曲线恰有两个交点．
故的取值范围是．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若0为的极大值点，且极小值为，求；
（3）若的导函数只有一个极值点，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先对函数进行求导，在对导函数的零点，的大小进行讨论得到不同情况时函数的单调性.（2）利用极值点和极小值结合小问（1）中求出的值.（3）因为只有一个极值点，所以关于的方程恰有一个异号根．然后结合结合曲线可知，，求解出．
【小问1详解】
因为，
所以．
当时，，令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得，．
当时，，令，得，
令，得，所以在上单调递减，
在，上单调递增．
当时，，此时恒成立，所以在上单调递增．
当时，，令，得，
令，得，所以在上单调递减，
在，上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
【小问2详解】
由（1）知当时，在上单调递减，在，上单调递增，此时0为极大值点，
极小值为．
令，．因为，
所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减．
因为，所以．
【小问3详解】
令，则．
因为只有一个极值点，所以关于的方程恰有一个异号根．
显然当时，方程无解，所以曲线与直线恰有一个交点，
结合曲线可知，，解得．
18. 已知函数．
（1）若在（0，1）上不单调，求的取值范围；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，再分和讨论正负得出即可求解；
（2）把恒成立问题化简，构造函数，再求出导函数得出函数单调性得出最大值即可；
（3）把恒成立问题化简，构造函数，再根据导函数得出最值即可得解.
【小问1详解】
因为，所以．
当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意，
所以．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在（0，1）上不单调，所以，得．
【小问2详解】
因为对恒成立，所以对恒成立．
当时，不等式成立．
当时，得．
令，，则．
令，，则，
所以函数在上单调递减，所以，即．
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故的取值范围为．
【小问3详解】
因为对恒成立，
所以对恒成立．
令，则，．
令，，则，
所以在上单调递增，而．
当时，恒成立，此时在上单调递增，恒成立．
当时，因为，，
所以在内存在，使得．
当时，，所以在上单调递减，，不符合题意．
故的取值范围是．
19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
（1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
（2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
①求的取值范围；
②若，证明：．
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为与有交点，求导后可得单调性，进而确定图象，结合图象可求得结果；
（2）①令，采用同构法可得，令，结合导数知识可求得图象，结合单调性可将问题转化为与有两个不同交点，结合单调性可求得的范围；
②根据与的两个不同交点为，采用比值代换的方式，令，将表示为关于的函数的形式，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得结论.
【小问1详解】
由题意知：与的公共定义域为，
令，即，，
令，若与为“契合函数”，则与有交点.
，
当时，，，即；当时，；
当时，，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，；当时，；
大致图象如下图所示，

由图象可知：当时，与有交点，
即当与为“契合函数”时，的取值范围为.
【小问2详解】
①由题意知：与的公共定义域为，
令，则，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，；当时，；
大致图象如下图所示：

令，则，
由得：，
在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点，
与有两个不同交点，，，
，解得：，即实数的取值范围为.
②由①得：与的两个不同交点为，且，
，即，，，
令，则由知：，，
，整理可得：，，
，
令，则，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，，
在上单调递增，，即，
在上单调递增，，即.
【点睛】关键点点睛：本题重点考查利用导数证明不等式的问题，所证不等式包含双变量，解决此类问题的关键是能够通过换元的方式将所证不等式转化为单变量的形式，进而将问题转化为单变量函数最值的求解问题.
增
极大值
减
极小值
增