河北省沧州市肃宁县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省沧州市肃宁县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中，正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
2. 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 已知向量，则（ ）
A. 的充要条件是
B. 的充要条件是
C. 与垂直的充要条件是
D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是
4. 已知正方形的边长为1，则（ ）
A. 0B. C. 2D.
5. 已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，.若，则（ ）
A. 4B. C. 5D.
7. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ）
A. 9B. C. 6D.
8. 已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足（），，则的最小值是（ ）
A 32B. 64C. 100D. 120
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 零向量是最小的向量
C. 若，则一定为一个三角形的三个顶点
D. 单位向量都相等
10. 在中，内角所对的边分别为，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰直角三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，，分别表示，的面积，则
11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A B. A，B，C三点共线
C. D. 在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________.
13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
14. 如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，，
（1）用，，表示向量
（2）求
16. 已知向量，．
（1）求；
（2）若向量满足，求向量；
（3）在（2）条件下，若，求实数的值.
17. 已知是夹角为的两个单位向量，.
（1）求；
（2）求证：.
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.
19. 长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.

（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
2024-2025学年高一下3月月考试题
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中，正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
2. 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 已知向量，则（ ）
A. 的充要条件是
B. 的充要条件是
C. 与垂直的充要条件是
D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是
4. 已知正方形的边长为1，则（ ）
A. 0B. C. 2D.
5. 已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，.若，则（ ）
A. 4B. C. 5D.
7. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（ ）
A. 9B. C. 6D.
8. 已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足（），，则的最小值是（ ）
A 32B. 64C. 100D. 120
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 零向量是最小的向量
C. 若，则一定为一个三角形的三个顶点
D. 单位向量都相等
10. 在中，内角所对的边分别为，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰直角三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，，分别表示，的面积，则
11. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A B. A，B，C三点共线
C. D. 在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________.
13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
14. 如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，，
（1）用，，表示向量
（2）求
16. 已知向量，．
（1）求；
（2）若向量满足，求向量；
（3）在（2）条件下，若，求实数的值.
17. 已知是夹角为的两个单位向量，.
（1）求；
（2）求证：.
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.
19. 长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.

（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？