甘肃省靖远县2025届高三第三次高考模拟测试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省靖远县2025届高三第三次高考模拟测试数学试题（原卷版+解析版），共22页。
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
2. 已知向量，且，则（ ）
A 8B. C. D. 2
3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
5. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 若函数在区间上有极值点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 的展开式中（ ）
A. 前三项系数之和为112
B. 二项式系数最大的项是第3项
C. 常数项为240
D. 所有项的系数之和为1
10. 已知椭圆左、右焦点分别是，左、右顶点分别是是椭圆上的一个动点（不与重合），则（ ）
A. 的离心率
B. 的周长与点的位置无关
C. 的取值范围为
D. 直线与直线的斜率之积为
11. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 为偶函数
D. 的图象关于点中心对称
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个.
13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________．
14. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
（1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
（2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
16. 如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
18. 已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值．
（3）已知点，过点作直线与交于两点，记直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
按秘密级事项管理★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法，根据模长公式，可得答案.
【详解】因为，所以．
故选：D
2. 已知向量，且，则（ ）
A. 8B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量共线向量定理求解.
【详解】因为向量，且，
所以，解得．
故选：A
3. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增，
故对称轴，则，解得，
故选：C
4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】确定解析式，由确定满足的条件，得到的最小值.
【详解】，
又的图象关于点对称
，即，
，即，
，
的最小值为4．
故选：B.
5. 正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（ ）（参考数据：）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据调和数列的和的公式，利用对数的运算性质，代值估算即得.
【详解】因，
则得，
又因，
故，
于是，
故.
故选：D.
6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，利用导数有变号零点可求答案.
【详解】由题意知在上有变号零点，
显然在上单调递增，
故原条件等价于解得，
故实数的取值范围是．
故选：C
7. 已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可.
【详解】圆，即，
且圆与轴相切于点，故，
所以，
设动点，满足，则，
则，即，
故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上，
且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程，
两个圆的方程相减得：，即.
故选：C
8. 已知圆台上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高，根据勾股定理求解，即可利用体积公式求解.
【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，设圆台的母线为，则侧面积为，故，
则圆台的高，
依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为，
则，解得，
故两个体积之比为
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 的展开式中（ ）
A. 前三项系数之和为112
B. 二项式系数最大的项是第3项
C. 常数项为240
D. 所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出二项展开式的通项，根据选项要求逐一分析计算即得.
【详解】的展开式的通项为，，
对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确；
对于B，因二项展开式有7项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误；
对于C，在通项中，使，解得，故常数项，故C正确；
对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是是椭圆上的一个动点（不与重合），则（ ）
A. 的离心率
B. 的周长与点的位置无关
C. 的取值范围为
D. 直线与直线的斜率之积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆方程得到，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D.
【详解】对于A，因为椭圆，所以，
则离心率，故A正确；
对于B，因为是椭圆上的动点（不与重合），
所以的周长，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，设，则，
因为，
所以，故D正确．
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 为偶函数
D. 的图象关于点中心对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用抽象函数的赋值法即可判断选项ABC,利用函数的值域和对称性即可判断选项D.
【详解】对于A，令则，故或，
令，则，
若，则，与的值域为矛盾，故，故A错误；
对于B，令则，故或，
令，则，
若，则，与的值域为矛盾，故，
令则，故，或，
因为的值域为，故，故，故B正确；
对于C，令则，故， 故C正确；
对于D，的值域为，故的图象不可能关于点中心对称，故D错误.
故选：BC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个.
【答案】7
【解析】
【分析】结合子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由⫋，则集合中一定有元素，
且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.
故答案为：7.
13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________．
【答案】 ①. 0，1； ②. .
【解析】
【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得.
【详解】X的取值可能为0，1．
依题意可知服从超几何分布，
则，，
所以．
故答案为：0，1；.
14. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得最小值，然后利用余弦定理得，由得，利用辅助角公式即可求解.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
由有
所以，
又由，所以，
因为，
所以
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
（1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
（2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
【答案】（1）可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2），估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
【解析】
【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解；
（2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果.
【小问1详解】
由题意可得：，
则
，
因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系.
【小问2详解】
由题意可得：，，
则，当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
16. 如图所示，在四棱锥中，平面为边上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角余弦值．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算线面夹角即可.
【小问1详解】
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，
则即令，得，则
又，可得，因为平面，所以平面
【小问2详解】
易知，设平面的法向量为，
则即令，则，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
易知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
17. 已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1），令，利用导数法求得其最小值即可；
（2）将问题转化为，令，利用导数法证明在上恒成立即可.
【小问1详解】
，
令，
则，令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，即的取值范围是．
【小问2详解】
，
即．
令，
则，
令，则恒成立，
故在上单调递减．
又，故，
故在上恒成立，
故在上单调递减．
又，
故，结论得证．
18. 已知双曲线的实轴长为2，且过点为其右焦点．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）直线经过点，倾斜角为，与交于两点（点在两点之间），若，求的值．
（3）已知点，过点作直线与交于两点，记直线斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）为定值，且该定值为
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，再通过点在双曲线上，构造等式求解即可；
（2）利用点斜式方程得直线的方程为，与双曲线方程联立求出点C，D坐标，最后利用向量的坐标运算求出即可；
（3）设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，代入两点斜率公式化简求解即可；
【小问1详解】
由题意可知，则此双曲线方程为，
把点代入方程，得
所以得，即双曲线的标准方程为．
【小问2详解】
因为直线经过点，倾斜角为，
所以直线的方程为，由
解得或故得点和点，
则，
由得，解得．
【小问3详解】
如图，由题意得直线的斜率存在且不可能与轴重合，
设直线的方程为，
由得到
而．
由韦达定理得
则
，
故为定值，且该定值为．
19. 若数列满足：对任意的正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.
（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.
（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.
（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任意的，均有.
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析.
【解析】
【分析】(1)欲使，则只需找寻的最大值，故而选择即可；
(2)因，故而数列不可能仅满足，因此先解决特殊情况，即数列仅满足，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生；
(3)采用数学归纳法即可.
【小问1详解】
因数列为“2阶归化数列”，则，
则或，
因且欲使尽可能的大，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，此时，
故，且等号在时取到.
【小问2详解】
因数列为“16阶归化数列”， 则，
则或，
若满足，则数列为递增数列；
若，则，则，则数列为周期数列，
即奇数项为，偶数项为.
①若对任意恒成立，则，
此时.
②存在为偶数且，使得，则第项之后的项
，
其中，，值为或，
故.
存在为奇数且，使得，则
，
其中，值为或，
故.
则若存在使得，则将变大或变小，
综上，的值只可能为.
【小问3详解】
因正项数列为“阶归化数列”，则，即，
现用数学归纳法证明：对于任意的，均有.
因，则
假设当时有，
则当时有，
故对于任意的，均有.
【点睛】关键点点睛：
(1)抓住关键点，故而探寻的最大值；
(2)由已知信息抓住关键点，数列不可能仅满足，因此考虑是否可以仅满足，得出满足题意的答案，再从反面说明两种关系均存在的情况不可能发生；
(3)正面证明无法说明任意性，故而采用数学归纳法证明.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
5
新增新能源汽车万辆
1.2
18
2.5
3.2
3.8
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
5
新增新能源汽车万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8