北京市第十四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市第十四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），共46页。试卷主要包含了答题不得使用任何涂改工具等内容，欢迎下载使用。
注意事项
1．本试卷共八页，共28道小题，满分100+10分，考试时间100分钟．
2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．答题不得使用任何涂改工具．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，6，8
C. 1，，2D. ，，
3. 如图，在中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列图像中，y不是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A. AB=BEB. BE⊥DCC. ∠ADB=90°D. CE⊥DE
7. 若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（ ）
A. 6B. C. D.
9. 如图，是我国古代著名赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，连接，若，，则正方形的边长是（ ）
A. B. 2C. D.
10. 如图，中，，两动点M、N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的关系图像如图所示．已知，则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是；
②的长度为；
③a值为8；
④当时，t的值为或9．

A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____．
13. 把直线向下平移6个单位得到的直线解析式为：__________．
14. 菱形的面积为，对角线的长为，则的长为______．
15. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺．
16. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边中点，连接，那么的长是 _____．
17. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形的周长为______．
18. 如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________．
三、解答题（共8道题，共56分，第19题9分，第20题4分，第21题5分，第22题5分，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题9分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
20. 已知，求代数式的值．
21. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的重直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据）
22. 如图，的对角线，相交于点，，是上的两个点，并且，求证：四边形是平行四边形．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）画出函数的图象；
（3）若点P为直线上一动点，的面积为6，则点P的坐标为________．
24. 图，点E在的对角线的延长线上，于点F，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形面积．
25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，且与y轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）直线与直线交于点C，与x轴交于点F，求的面积；
（3）当时，对于x的每一个值，函数的值恒小于函数的值，直接写出m的取值范围．
26. 如图，正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，且，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，取中点，连接、、．
①依题意补全图形，并求的度数；
②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
附加题：（共2道题，共10分，第27题3分，第28题7分）
27. 先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值．
28. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，．

（1）已知点，
①若，则（点，正方形 ；
②若（点，正方形，则 ．
（2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围．
（3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．
北京十四中2024−2025学年度第二学期期中检测
初二数学测试卷
注意事项
1．本试卷共八页，共28道小题，满分100+10分，考试时间100分钟．
2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．答题不得使用任何涂改工具．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
详解】解：A、，故不符合题意；
B、是最简二次根式，故符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，6，8
C. 1，，2D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用勾股定理的逆定理，判断三边能否构成直角三角形，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．通过计算较小两数的平方和，看其是否等于最大数的平方，若等于，则能构成直角三角形，否则这三条线段不能构成直角三角形．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 如图，在中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项错误；
D、，所以选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
5. 下列图像中，y不是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义，根据函数定义判断所给出的图像是否是函数．函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图像观察就可以得出结论．
【详解】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图像．
故选：C．
6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A. AB=BEB. BE⊥DCC. ∠ADB=90°D. CE⊥DE
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．
7. 若函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据图象得出一次函数与坐标轴的交点是解题关键．根据一次函数与轴的交点为，即可得到不等式解集．
【详解】解：由图象可知，一次函数与轴的交点为，
则时，一次函数图象在轴上方，
关于x的不等式的解集为，
故选：B．
8. 如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AC=4，进而求出AD，再根据勾股定理求出AB，可得BE，然后说明DE是△ABC的中位线，可求DE，即可得出DE是AB的垂直平分线，得出BD，即可得出答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
则，
即．
∵点D，E是AC，AB的中点，
∴AD=2，，DE是△ABC的中位线，
∴，，
∴DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=2，
∴△BDE的周长=．
故选：B．
【点睛】这是一道关于三角形的综合题目，考查了中点的定义，直角三角形的性质，三角形中位线的定义和性质，线段垂直平分线的定义和性质等．
9. 如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，连接，若，，则正方形的边长是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要查了等腰三角形三线合一定理，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解： ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长是，
故选：A
10. 如图，中，，两动点M、N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的关系图像如图所示．已知，则下列说法正确的是（ ）
①N点运动速度是；
②的长度为；
③a的值为8；
④当时，t的值为或9．

A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】`本题主要考查函数图象问题，由点M的速度和路程可知，时，点M和点C重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图可得当时，点N和点A重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论．
【详解】解：∵，点M的速度为，
∴当点M从点B到点C，用时，
当时，过点N作于点E，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴N点的运动速度是；故①正确；
由图可知，点N从B到A用时，
∴，故②正确；
∴，故③错误；
当点M未到点C时，过点N作于点E，
∴，
解得，负值舍去；
当点N在上时，过点N作交延长线于点F，
此时，
∴，
∴，
解得，
∴当时，t的值为或9．故④正确；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
12. 一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为_____，自变量的取值范围_____．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式．
【详解】解：由题可知：
该车行驶时每1小时耗电20度，
电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）之间的函数关系式为：
，
∵
∴
解得：
∴
故答案为：，．
13. 把直线向下平移6个单位得到的直线解析式为：__________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了函数图像的平移，解题的关键是掌握函数图象平移的规则．
根据函数图象平移的规则“上加下减，左加右减”求解即可．
【详解】解：直线向下平移6个单位，得到的直线的解析式为，
故答案为：．
14. 菱形的面积为，对角线的长为，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键．
由菱形面积公式和勾股定理即可得出结论．
【详解】解：根据题意，作图，如下：
∵四边形是菱形，对角线的长为，
，，，
∴菱形面积，
即，
，
，
，
故答案为：5．
15. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设水深尺，则芦苇的高度为尺，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设水深尺，则芦苇的高度为尺，由题意，得：，
解得：，
答：水深尺；
故答案为：．
16. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接，那么的长是 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点并运用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理确定的长度，进而确定的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质确定E为中点，再根据中位线的性质求出的长度．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴E为中点，．
∴，
又∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：1．
17. 如图，四边形是菱形，，，和相交于点，为的中点，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
根据菱形的性质可知，根据已知可得，所以，先证明四边形是矩形，根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出，利用直角三角形的性质求出，再根据矩形的性质求出周长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
∵四边形是菱形，
，
，点是的中点，
，
在中，，
，
即，
，
∵四边形是矩形，
∴四边形的周长，
故答案为：．
18. 如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接、、，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共8道题，共56分，第19题9分，第20题4分，第21题5分，第22题5分，第23题7分，第24题8分，第25题9分，第26题9分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先化简二次根式后再合并即可；
（2）原式先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可；
（3）原式根据平方差公式 和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：

20. 已知，求代数式的值．
【答案】5
【解析】
【分析】利用完全平方公式，将变式为，再代入数值解题．
【详解】解：
当时，
原式
．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握完全平方公式是解题关键．
21. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的重直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据）
【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明．
【详解】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22. 如图，的对角线，相交于点，，是上的两个点，并且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，则可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）画出函数的图象；
（3）若点P为直线上一动点，的面积为6，则点P的坐标为________．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
（1）分别令，求解即可；
（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；
（3）设点坐标为，根据的面积为6，可得，求出的值，进一步即可求出点坐标．
【小问1详解】
令，则，解得，
令，则，
所以，点的坐标为，点的坐标为；
【小问2详解】
如图：
；
【小问3详解】
设点坐标为，
的面积为6，
，
解得，
或，
点坐标为或．
故答案为：或．
24. 图，点E在的对角线的延长线上，于点F，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）32
【解析】
【分析】本题考查菱形判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键：
（1）三线合一，证明，证明，推出，证明四边形是平行四边形，根据，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的性质进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴是等腰三角形
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形
∴．
∵
∴，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵，
∴是等腰直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴菱形的面积为．
25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，，且与y轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）直线与直线交于点C，与x轴交于点F，求的面积；
（3）当时，对于x的每一个值，函数的值恒小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）6.75 （3）
【解析】
分析】（1）首先利用待定系数法求出直线解析式，然后将代入求解即可；
（2）首先求出，得到，然后联立求出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）求出当时，，代入求出，然后结合图象求解即可．
【小问1详解】
将，代入得，
解得
∴
将代入得，
∴；
【小问2详解】
如图所示，
∵直线
∴当时，
解得
∴
∵
∴
联立，解得
∴
∴；
【小问3详解】
∵
∴当时，
将代入得，
∵直线经过点
∴如图所示，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值恒小于函数的值
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次不等式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26. 如图，正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，且，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，取中点，连接、、．
①依题意补全图形，并求的度数；
②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①，图见解析； ②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，两边加上可得结论成立；
（2）①先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，再求得的度数；
②先写出结论，再证明．先证明，再设，然后用分别表示出，，从而可得出结论成立．
【小问1详解】
证明：正方形，
，．
．
，
．
．
．
即．
【小问2详解】
①补全图形如图：
如图，连接，．
正方形，
，．
点是中点，
．
，点是中点，
．
．
，，
．
．
．
②结论：．
证明：过点作于点，
，
．
，
．
设．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，，，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握上述知识并能熟练运用是解题关键．
附加题：（共2道题，共10分，第27题3分，第28题7分）
27. 先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值．
【答案】（1）；（2）；（3）99．
【解析】
【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；
（2）利用前面三个等式的规律求解；
（3）根据（2）中结论得到，然后再求出最大整数即可．
【详解】解：（1）猜想；
（2）第n个式子为：；
（3）
=
=
=
=
=99．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．
28. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，．

（1）已知点，
①若，则（点，正方形 ；
②若（点，正方形，则 ．
（2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围．
（3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．
【答案】（1）①；②或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据图形和的“极大距离”的定义求解即可．
②分两种情形，利用勾股定理求解即可．
（2）分两种情形：如图2中，当在轴的右侧时，如图3中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题．
（3）当（线段，正方形取最小值，推出（线段，正方形的最小值（点，正方形，推出（点，正方形，当（点，正方形时，或，求出两种特殊位置的值，可得结论．
【小问1详解】
解：①如图1中，时，，

（点，正方形．
故答案为：．
②（点，正方形，当点在轴的右侧时，，
解得或（舍弃），
当点在轴的左侧时，，
解得或（舍弃），
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【小问2详解】
解：如图2中，当在轴的右侧时，

若时，，
解得，或（舍弃），
若时，，
解得，或（舍弃），
观察图象可知，满足条件的的值为．
如图3中，当在轴的左侧时，

若，则有，，
解得，或4（舍弃），
若时，，
解得，或7（舍弃），
观察图象可知，满足条件的的值为．
综上所述，满足条件的的值为或．
【小问3详解】
解：如图4中，

当（线段，正方形取最小值，
（线段，正方形的最小值（点，正方形，
（点，正方形，
当（点，正方形时，或，
代入，得，
将代入，得，
观察图形可知，满足条件的的值为：或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形和的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．