福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析

这是一份福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设函数满足，则（ ）
A．1B．2C．D．3
2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．B．1C．2D．3
3．下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（ ）
A．B．C．或D．或
5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A．B．C．D．
6．给出下列四个图象：

函数大的大致图象的可以是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．②③④
7．给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若函数在上单调递减，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．3D．4
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面
B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为
C．若动点满足，则的最小值是
D．若动点在上，点在上，则的最小值为
三、填空题
12．已知事件与事件相互独立，且，，则
13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ．
14．已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．

(1)证明：平面PBF．
(2)若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
16．已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值；
(2)若，求的极值．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，，且分别为的中点．

(1)证明：．
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．
(1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
(2)求甲在每轮比赛中获胜的概率；
(3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
19．已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．
(1)已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．
(3)已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．
1．D
利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义可得，
.
故选：D
2．A
由，列出方程求解即可.
【详解】因为三点共线，
所以，
即，
所以，解得，
所以，
故选：A
3．D
由导数运算公式和运算法则逐一计算判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
4．B
由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案.
【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为.
故选：B.
5．C
求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，，
，
由条件概率公式可得.
故选：C.
6．C
分成，，三种情况识别函数的图象得出结果.
【详解】当时，是一个指数函数，在R上单调递减，所以②正确，①错误；
当时，由，即，解得，函数与轴交于两点，显然四个图象都不相符；
当时，，所以③不相符；由，方程的，当时，，有两个不等的实根，则函数两个极值点，当时，，当时，，所以④相符.
故选：C.
7．B
根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由，结合独立事件概率公式可知④正确.
【详解】对于①，若互斥，则，又，
，不相互独立，①正确；
对于②，，；
扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”，
则，，，
满足，但不是对立事件，②错误；
对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”，
则，，，，，
满足，此时，
事件不相互独立，③错误；
对于④，，事件与互斥，，
又，，
即，事件相互独立，④正确.
故选：B.
8．D
【详解】令，取自然对数得，令
令，得
若，单调递增，单调递增；
若，单调递减，单调递减，
因为，所以，而，，所以；
因为，所以，而，，所以
故.
故选：D.
9．BCD
【详解】根据题意可得函数的定义域为，
又，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得在上单调递增，
当时，当时，所以，
所以，
结合选择可知B、C、D符合题意.
故选：BCD
10．ACD
由事件的关系，结合概率运算，可得AB的正误；由条件概率与全概率公式，建立方程，可得答案.
【详解】对于A，由，则与互斥，所以，故A正确；
对于B，由，则，所以，故B错误；
对于C，由，则，即与相互独立，
所以，故C正确；
对于D，由，且，，
可得，即，
解得，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
A举反例，当运动到点时，此时不垂直于；B采用延长线法可构造截面；C由可知动点的轨迹是球，在平面内找出球心，即可计算半径，则问题转化为与球上的点间的距离的最小值；D以为原点建系，求异面直线和的距离即可.
【详解】对于选项A，当运动到点时，易知不垂直于，
所以不垂直于平面，故A错误；
对于选项B，如图，设，
连接交于点，连接交于点，连接，
则五边形即截面，
由题意得为等腰直角三角形，则，
由，得，则，，
所以，，
同理可得，，
因为分别为的中点，
所以，则截面周长为，故B正确；
对于选项C，由，得平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，
空间中点的轨迹是球面，球心在直线上，
由得；得，
则半径，，
则，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设且，
因，
则，
则，令，则，
所以异面直线AC和的距离为，
因的最小值即异面直线和的距离，
故的最小值为，故D正确．
故选：BCD．
12．/
利用独立事件的概率公式求出，再由公式可求得结果.
【详解】因为事件、是相互独立的，则，
所以，.
故答案为：.
13．
利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.
【详解】因为
，
所以，
因为，，，
所以，
因为四点共面，
所以，所以，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．
令，同构可得，构建，令，分析可知与有2个不同的交点，利用导数分析的单调性和最值，结合的图象分析求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，
令，则，可得，
构建，可得，
令，注意到且，则在内单调递增，
可知与有2个不同的交点，
对于函数，
令，则，解得；令，则，解得；
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于时，趋近于0，
可得的图象如图所示：

由图象可知：，则且，可得且，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）取PB的中点G，由、得四边形EGFD为平行四边形，再由线面平行判定定理可得答案；
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBF的法向量，再由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接EG，GF．
，G分别是PA，PB的中点，，且．
，且，，,
四边形EGFD为平行四边形，
．又平面PBF，平面PBF，平面PBF；
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．

设平面PBF的法向量为，则，
取，则，所以，
则，
直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．
16．(1)
(2)极小值，无极大值
（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出参数值.
（2）把代入，利用导数求出函数的极值.
【详解】（1）函数，求导得，
则，由切线与直线相互垂直，得，所以.
（2）当时，的定义域为，
则，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）先作辅助线构造平行四边形，利用中位线定理得到且，结合已知且，推出且，从而得出四边形是平行四边形，得到， 再证明线面垂直得到，再根据面面垂直性质定理，得到平面，最后得出结论.
（2）由（1）知平面．作辅助线，求证平面，得到与平面所成的角为，即．求出．，再建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量坐标，结合向量夹角余弦公式计算即可.
【详解】（1）如图，取的中点M，连接
因为E为PC的中点，所以，．
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，则．
因为，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，
又，所以．
（2）由（1）知平面．取AB的中点G，连接，则，
所以平面，所以与平面所成的角为，即．
又因为，所以．
又因为，所以．
以G为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，所以，．
设平面的法向量为，
则，取，则．
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18．(1)
(2)
(3)
（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在每轮比赛中获胜的概率；
（3）求出甲得0~3分的概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率.
【详解】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到（）道题为事件，
甲在一轮比赛中得（）分为事件，
则，
，
∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为.
（2）由题意及（1）得
设甲在一轮比赛中获胜为事件，
∵，
，
，
，
∴
，
∴甲在每轮比赛中获胜的概率为.
（3）由题意，（1）及（2）得，
，，
，，
设甲前三轮累计得分恰为6分为事件，
∴
∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为.
19．(1)是，理由见解析，的最小值是
(2)证明见解析；
(3)
（1）根据陪伴函数定义计算得，则，则确定的最小值；
（2）通过放缩得，再记，则，则得到，即证明原命题；
（3）根据陪伴函数的定义得，通过合理变形并整体求导得，则故．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到其范围.
【详解】（1）假设是的＂—陪伴函数＂，
则，
即，
则．
因为且，所以，则，
因此，因此是的＂－䧄伴函数＂，且的最小值是．
（2）已知，
，
.
记，则．
记，则，
即，
因此是的＂M—陪伴函数＂，
即在同一给定闭区间上的函数是函数的＂M－陪伴函数＂．
（3）由题知，
即，不妨假设，
则，
则，且，
所以函数单调递增，函数单调递减，
所以，
则．又，
所以，
故．
令，则，
令，易知在上单调递减，
则，所以，
则在上单调递减，则，
因此．
令，则．
令，易知在上单调递减，且，
则，即．
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减．
所以．
由，得，则，
因此．
又，所以，
即实数的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
B
C
C
B
D
BCD
ACD
题号
11









答案
BCD