福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（Word版附答案）

这是一份福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（Word版附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟总分：150分）
命题学校：永定一中
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若函数，则函数从到的平均变化率为
A．6B．3C．2D．1
2.已知空间中三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的中线的长度为
A．B．C．2D．
3.已知函数的导函数为，若，则
A．B．1C．D．
4.2024年4月4日是我国的传统节日“清明节”.这天，李华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，李华随机拿了两个青团子，若李华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为
A．B．C．D．
5.设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为
A．B．C．D．
6.已知函数在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为
A．B．C．D．
7.在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
8.已知正方体的棱长为1m.平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为.平面与正方体表面相交形成的多边形记为M，下列结论正确的是
A．M可能为三角形、四边形或六边形
B．
C．M的面积的最大值为
D．正方体内可以放下直径为1.2m的圆
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
10.甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，分别用，和表示从甲口袋取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙口袋中随机取出1个球，用B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是
A．，，是两两互斥的事件B．
C．事件与事件B相互独立D．
11.如图，正方体ABCD-EFGH的棱长等于2，K为正方形ABCD的中心，M，N分别为棱BF，EF的中点.下列结论正确的有
A．B．
C．D．△KMN的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设表示事件M发生的概率，若，，，则 .
13.若函数，则 .
14.某生物科学研究院为了研究新科研项目需建造如图所示的全封闭生态穹顶，该建筑（不计厚度，长度单位：m）的上方为半球形，下方为圆柱形，符合设计要求的生态穹顶建筑的容积为，且（其中l为圆柱的高，r为半球的半径），假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为c（）万元，当 m时，该生态穹顶建筑的总建造费用最少.
四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值.
16.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
17.已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线的方程.
（2）若，求证：当时，.
（3）若的极小值为，求a的值.
18.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动.
（1）求证：.
（2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离.
（3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由.
19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO＇为铅垂线（O＇在AB上）.经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离（米）与D到OO＇的距离a（米）之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离（米）与F到OO＇的距离b（米）之间满足关系式.已知点B到OO＇的距离为40米.
（1）求桥AB的长度.
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO＇的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）.桥墩EF每米的造价为k（万元），桥墩CD每米的造价为（万元），，问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考
高二数学参考答案
1.B（改编自《湘教版高中数学选择性必修》P3例2
【详解】因为，所以，，
故函数从到的平均变化率为.
故选B.
2.D
【分析】利用空间的坐标运算求解.
【详解】由题可得BC的中点坐标为，
所以BC边上的中线的长度为.
故选D.
3.C
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得，所以，，.
故选C.
4.A
【详解】设事件A为“李华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件B为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以.
故选A.
5.B（改编自《湘教版高中数学选择性必修》P83第9题）
【详解】
∵，点Q在直线OP上运动，
∴可设.
又向量，，
∴，，
则.
易得当时，取得最小值.
故选B.
6.A（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P32练习第1题）
【分析】根据给定函数的图象，确定函数的单调性，再探讨的正负及零点个数.
【详解】观察图象知，当时，单调递减，，选项BD不满足.
当时，函数先递增，再递减，然后又递增，有一个极大值点和一个极小值点，
则的值先为正，再为负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C错误.
故选A.
7.B（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P66例3）
【详解】设，，，则.
又，所以，
.
因为，，
所以，
所以，
所以，可知.
又是直线和的公共点，
所以和共线，即M，N，三点在一条直线上.
又易知由M，N，共线无法确定且.
故选B.
8.D
【分析】A选项，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量知识可知平面可为与垂直的平面，即可判断选项正误；B选项，由A选项分析及线面角计算公式可判断选项正误；C选项，由A选项分析可表示出两种情况下M的面积表达式，即可判断选项正误；D选项，问题等价于判断M内部最大圆直径的最大值是否大于1.2m.
【详解】A选项，如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，因为平面与正方体的每条棱所成的角均相等，
所以
.
由对称性，不妨取，则法向量可为，又，
所以平面可为与垂直的平面.
如图1，连接，BD，，AC.
图1
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，，AC，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得.
又BD，平面，，所以平面，
即平面可为与平面平行的平面.
当平面与（不含A）相交时，M为与相似的正三角形；
当平面与（不含，）相交时，M为如图2所示的六边形；
图2
当平面与（不含）相交时，M为与相似的正三角形.
所以M可能为三角形或六边形，故A错误.
B选项，由A选项分析可知，，故B错误.
选项，由A选项分析可知，当平面过，B，D或，，C时，
所得正三角形的面积最大，由题可得其边长为，则相应面积为.
当M为六边形时，如图3所示，，，，
图3
结合图形可知，且由题可知六边形RSUVWT为中心对称图形.
设其对称中心为O，则四边形四边形四边形UVOS，
则六边形的面积为相应四边形面积的3倍.
设RS，RT的中点分别为F，E，连接EF，OE，OF.
因为，所以，
四边形RSOT的面积为四边形REOF面积的2倍，则六边形的面积为四边形REOF面积的6倍.
设，，，
由题结合图形可知，，，，.
在△EFR中，由余弦定理得.
注意到，，则R，E，O，F四点共圆，则△REF外接圆的直径等于OR，
由正弦定理可得，
，.
六边形的面积，
当且仅当时，等号成立.
又，所以M的面积的最大值为，故C错误.
D选项，先判断M内部的最大圆直径的最大值是否超过1.2m.
当M为正三角形时，M内部的最大圆为三角形的内切圆.
易知当平面过，B，D或，，C时，所得内切圆半径最大.
设此时内切圆的半径为r，三角形的面积为S＇，周长为C，
则内切圆的直径.
当M为六边形时，M内部的最大圆半径满足，
由C选项分析，可知，，则当时，取得最大值，
此时M内部的最大圆的直径为.
因为，所以，即正方体内可以放下直径为1.2m的圆，故D正确.
故选D.
图4
【点睛】本题首先需要通过向量方法，得到满足题意的平面的具体特征，后利用几何知识，结合正余弦定理可得图形M的面积的最大值及其内部最大圆的直径.
9.AC
【详解】由题知，令，得或，
令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确.
因为，，，
所以在上有一个零点.
当时，，即在上无零点.
综上，有一个零点，故B错误.
令，该函数的定义域为R，
，
则是奇函数，点是图象的对称中心，
将的图象向上移动一个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确.
令，可得，又，
所以当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选AC.
10.CD
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，是两两互斥的事件，故A正确.
∵，，，
∴，故B正确.
由，
得，
，则事件与事件B不独立，故CD错误.
故选CD.
11.ACD（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P83练习第12题）
【详解】以点E为坐标原点，EF，EH，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，.
A：，，，，∴A正确.
B：，∴B错误.
C：，∴C正确.
D：因为，则，所以，，
，所以△KMN的面积，∴D正确.
故选ACD.
12.
【分析】根据题意分别求出，，进而利用即可求出结果.
【详解】因为，，
所以.
13.2023！（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P51第15题
【详解】设，则，
，.
14.2
【分析】根据题意结合圆柱以及球的体积公式表示出l，r的关系式，确定r的取值范围，利用面积确定总建造费用与半径的函数关系式，再利用导数确定总建造费用最少时r的值.
【详解】设该建筑的容积为，由题意知，
又，所以.
由于，即，因此.
设该建筑的总建造费用为y万元，则
，，
于是，
由于，所以.
当时，，所以y在上单调递减，
故当时，建筑的总建造费用y取得最小值.
【点睛】解答本题的关键是由题意求出建筑的总建造费用的表达式，进而利用导数求解其最值问题.
15.解：
（1）因为，所以，
所以.
因为点E为AD的中点，所以.
（2）因为，，
所以
.
16.解：
（1）从甲箱中任取2个产品的事件数为，
这2个产品都是次品的事件数为.
∴这2个产品都是次品的概率为.
（2）设事件A为“从乙箱中取出的1个产品是正品”事件为“从甲箱中取出的2个产品都是正品”事件为“从甲箱中取出1个正品和1个次品”，事件为“从甲箱中取出的2个产品都是次品”，则事件，事件，事件两两互斥.
，，，
，，，
∴.
17.
（1）解：由函数，可得，
所以，可得，所以，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）证明：当时，，可得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的最小值为，
所以当时，成立.
（3）解：对于函数，，可得，
①若，可得，此时无极值点，不符合题意（舍去）.
令，解得或.
②若，则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，
令，解得.
③若，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极小值，不符合题意（舍去）.
综上，实数a的值为.
18.（改编自《湘教版高中数学选择性必修二》P112第19题）
（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
设，，
则，，，，.
因为，所以，
所以.
（2）解：因为E为AB的中点，所以，
从而，，.
设平面的法向量为，则，
即，得，
从而，
所以点E到平面的距离.
（3）解：设这样的点M存在，且，，平面与平面AMC所成的角为，
则，，，，.
设平面的法向量为，
则，
取，得.
平面AMC的一个法向量，
所以，
由，解得.
所以满足题意的点M存在，此时.
19.解：
（1）如图，设，，，都与MN垂直，，，，是相应垂足.由条件知，
当时，，则.
由，得.
所以（米）.
（2）以O为原点，OO＇为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
设，，则，
.
因为，所以.
设，则，
所以.
记桥墩CD和EF的总造价为万元，
则
（）.
，
令，得.
当x变化时，，的变化情况如下：
所以当时，取得最小值.
答：
（1）桥AB的长度为120米；
（2）当O＇E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低.
x
20
0
单调递减
极小值
单调递增