福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数，则函数从到的平均变化率为（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】因为，所以，，
故函数从到的平均变化率为.
故选：B.
2. 已知空间中三角形的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可得的中点坐标为，
所以边上的中线的长度，
故选:C.
3. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】由函数，可得，
令，可得，解得，
所以，，.
故选：C.
4. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，则事件A包含的基本事件的个数为，事件AB包含的基本事件的个数为，所以,
故选：A
5. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，点Q在直线OP上运动，∴可设.
又向量，，
∴，，
则.
易得当时，取得最小值.故选：B.
6. 已知函数 在定义域内可导，的图象如下，则其导函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】观察图象知，当时，单调递减，，选项B、D不满足;
当时，函数先递增，再递减，然后又递增，有一个极大值点和一个极小值点，
则的值先正，再负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C错误.故选：A.
7. 在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在平行六面体中，令，，，
则，由，得，
因此，
而，
由，得，
因此，
则，即，又是直线和的公共点，
于是和共线，即M，N，三点在一条直线上；当与重合，为的中点时，由四边形是平行四边形，得M，N，共线，而且不成立，所以“且”是“M，N，三点共线”的充分不必要条件.
故选：B

8. 已知正方体，设其棱长为1（单位：）．平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为．平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（ ）

A. 可能为三角形，四边形或六边形
B.
C. 的面积的最大值为
D. 正方体内可以放下直径为的圆
【答案】D
【解析】A选项，如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，
.
设平面法向量为，因平面与正方体每条棱所成的角均相等，
则
.
由对称性，不妨取，则法向量可为，又，
则平面可为与垂直的平面.
如图，连接，
因平面ABCD，平面ABCD，
则，又平面，
则平面，又平面，则，同理可得.
又平面，，故平面.
即平面可为与平面平行的平面，
当平面与（不含A）相交时，M为与相似的正三角形；
当平面与（不含）相交时，M为如图所示的六边形；
当平面与相交时（不含），M为与相似的正三角形；
则可能为三角形，六边形，故A错误；

B选项，由A选项分析可知，，故B错误.
C选项，由A选项分析可知，当平面过或时，
所得正三角形面积最大，由题可得边长为，则相应面积为.
当为六边形时，如下图所示，因，，又，
结合图形可知，又由题可知六边形为中心对称图形，
取其对称中心为O，则四边形四边形四边形，
则六边形面积为相应四边形面积的3倍.取RS，RT中点分别为F，E，
连接EF，OE，OF，因，则，
四边形面积为四边形面积2倍，则六边形面积为四边形面积6倍.
设，
由题结合图形可知， ，则
在中，由余弦定理，.
注意到，则四点共圆，
则外接圆直径等于OR，由正弦定理，可得.
则，.
则六边形面积S
，当且仅当时取等号.
又 ，则的面积的最大值为，故C错误；

D选项，先判断M内部的最大圆直径最大值是否超过1.2m.
当M为正三角形时，M内部的最大圆为三角形内切圆，
易知当平面过或时，所得内切圆半径最大，
设此时内切圆半径为，三角形面积为，周长为C，
则内切圆直径.
当M为六边形时，M内部的最大圆半径满足，
由C选项分析，可知，则当时，
取最大值，则此时M内部的最大圆直径的最大值为，
因，则，即正方体内可以放下直径为的圆，故D正确.故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
10. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中错误的是（ ）
A. ，，是两两互斥的事件B.
C. 事件与事件B相互独立D.
【答案】CD
【解析】由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确；
，，
，故B正确；
由
事件与事件B不独立，故C、D错误；故选：CD
11. 如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
【答案】ACD
【解析】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，.
A：，，，
，A正确.
B：，B错误.
C：，C正确.
D：因为，则，所以，
，，
所以的面积，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设表示事件发生的概率，若，则__________.
【答案】
【解析】因为，，
则
故答案为：.
13. 若函数，则_________.
【答案】2023！
【解析】设，
则，
，
.故答案为：
14. 某生物科学研究院为了研究新科研项目需建筑如图所示的生态穹顶，建筑（不计厚度，长度单位：m），其中上方为半球形，下方为圆柱形，按照设计要求生态穹顶建筑的容积为，且（其中l为圆柱的高，r为半球的半径），假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为万元，当______时该生态穹顶建筑的总建造费用最少.（公式：，）

【答案】
【解析】设该建筑的容积为，由题意知，又，
故，
由于，即，因此，
设建筑总建造费用为万元，则，
于是，
由于，所以，
当时，，所以在上单调递减，
故当时，建筑的总建造费用取最小值，
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图,在空间四边形中，,点E为的中点，设，，．

（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
解：（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以.
（2）因为，，
所以
.
16. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
解：（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，
这2个产品都是次品的事件数为.
所以这2 个产品都是次品的概率为.
（2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥.
，
，，
所以.
17. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程
（2）若，求证：当时，；
（3）若的极小值为，求a的值.
解：（1）由函数，可得，
所以，可得，所以，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）当时，，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的最小值为，
所以当时，成立.
（3）对于函数，可得，
①若，可得，此时函数无极值点，不符合题意（舍去）；
令，解得或，
②若，则：
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以时，函数取得极小值，令，解得.
③若，则：当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时，函数取得极小值，不符合题意（舍去）.
综上可得，实数的值为.
18. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动.

（1）求证：.
（2）当点E为棱AB的中点时，求点E到平面的距离.
（3）在棱AB上是否存在点M，使平面与平面AMC所成的角为？若存在，求出AM的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

设，，
则，，，A1,0,0，.
因为，所以，
所以.
（2）因为E为AB的中点，所以，
从而，，.
设平面的法向量为n=a,b,c，则，
即，得，
从而，
所以点E到平面的距离.
（3）设这样的点M存在，且，，
平面与平面AMC所成的角为，
则，，，，.
设平面的法向量为，
则，
取，得.
平面AMC的一个法向量，
所以，
由，解得.
所以满足题意的点M存在，此时.
19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?
解：（1）由题意得
米.
（2）设总造价为万元，，设，
(0舍去)
当时，；当时，，因此当时，取最小值，
答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.