广西壮族自治区防城港市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区防城港市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共63页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知，得，由，得，
所以，所以．
故选：B.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，命题“”的否定为，
故选：C.
3. 对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数是偶函数，则，
此时，，
因此的图象关于轴对称，
但当的图象关于轴对称时，
未必推出是偶函数，
如，的图象也关于轴对称，
但并非偶函数，
故“的图象关于轴对称”
是“是偶函数”的必要不充分条件．
故选：B.
4. 已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题知,
不妨取
则有,
,
故选项A,B错误;
关于选项C,不妨取,
故选项C错误;
关于选项D,,,
故选项D正确.
故选:D
5. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若，且，
由函数在上为减函数，，
则，
又函数在上为减函数，则，
又函数在0,+∞上为增函数，则，因此可得.故选：C.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，排除B，又不是偶函数，排除C，
当时，，排除D.
故选：A.
7. 若正实数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】D
【解析】因为，则，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
因为，则，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误.
故选：.
8. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，则，（舍）．
，
．
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则；
B. 已知，则；
C. 已知一次函数满足，则；
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以，故正确；
对于B，因为，
因，
所以，故正确；
对于C，设，
则，
所以，解得或，
所以或，故错误；
对于D，因为定义在上的函数满足①，
所以②，
由①+②，得，
所以，故正确.
故选：ABD.
10. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ）
A.
B.
C.
D. （表示不大于的最大整数）
【答案】AD
【解析】对于A，，当时，，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
即对于任意，，
所以存在常数，使得成立，故为有界函数；
对于B，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，
所以对于任意，不存在常数，使得成立，故不为有界函数；
对于C，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以可以无穷小，
所以不存在常数，使得成立，故不为有界函数；
对于D，当时，，则，
所以存在常数，使得成立，故有界函数.
故选：AD.
11. 已知函数则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A选项，因为，所以，故A选项准确；
B选项，，故B选项错误；
C选项，
，因为函数单调递增，
故，则，故C选项正确；
D选项，，，因，根据均值不等式可知， ，即，故D选项正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______．
【答案】1
【解析】
.
故答案为：
13. 设函数，若，则的值为____．
【答案】3
【解析】若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，
若0＜a≤2，由f（a）=9，得lg2a+4=9，得a=32，舍去．
综上a=3，
故答案为3．
14. 函数在区间上的值域为，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】解方程，
解得或，
解方程，
解得，由于函数在区间上的值域为.
若函数在区间上单调，
则或，
此时取得最小值2；
若函数在区间上不单调，且当取最大值时，，
所以的最大值为4.
所以的取值范围是2,4.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合或．
（1）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由是成立的必要不充分条件，得集合真包含于集合，
则或，解得或，
所以的取值范围是或.
（2）依题意，，由，得，
则，解得，所以的取值范围是.
16. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示．
（1）求函数与的解析式；
（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
解：（1）由题意，解得，故.
又由题意，得，.
（2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元.
由（1）得.
令，则且，
故，，
当即时，取最大值，
答：该商场所获利润的最大值为万元．
17. 定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）方法一：是奇函数，，即，解得，
又由知：，解得．
此时，，
且的定义域（全体实数）关于原点对称，
所以是奇函数．故．
方法二：是奇函数，
，
，
即恒成立．
或，
当时，的定义域为，舍去，
当时，，
且的定义域（全体实数）关于原点对称，
所以是奇函数．
故满足题意．
（2）由（1）知，
则由复合函数单调性可知在上为减函数，
又是奇函数，由得：，
，即在上有解，
当且仅当，即时等号成立，
在上的最大值为，
，即．
18. 已知关于x的不等式，
（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式的解集．
解：（1）若的解集为，
则是方程的一个根，即，解得，
所以不等式为，解得：，所以.
即，.
（2）因为，即，
①当时，即，解得：，不等式的解集为：；
②当时，令，解得，
若时，不等式解集为：；
若时，不等式解集：；
若时，不等式解集为：；
若时， 不等式解集为：；
综上所述：当时，不等式解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式解集为：；
当时，不等式解集为：；
当时， 不等式解集为：.
19. 若函数y=fx满足，则称函数y=fx为“倒函数”.
（1）判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）；
（2）若为“倒函数”，求实数m，n的值；
（3）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：φx是“倒函数”．
（1）解：依题意，函数y=fx为“倒函数”，函数y=fx的定义域必关于数0对称，
函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内，即不是“倒函数”，
函数定义域为R，而，即不是“倒函数”，所以函数和都不是“倒函数”.
（2）解：显然，函数hx的定义域关于数0对称，又hx是倒函数，
于是得，
则，又，解得，
所以实数m、n的值分别为；
（3）证明：因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称，
依题意，φx的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称，
因此，，
所以φx是倒函数.