高考数学复习解答题解题思路训练 专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练) (解析版）

这是一份高考数学复习解答题解题思路训练 专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练) (解析版），共26页。试卷主要包含了单空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29784" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29784 \h 1
\l "_Tc3113" 二、典型题型 PAGEREF _Tc3113 \h 2
\l "_Tc31782" 题型一：在型求切线方程 PAGEREF _Tc31782 \h 2
\l "_Tc15187" 题型二：过型求切线方程 PAGEREF _Tc15187 \h 4
\l "_Tc28689" 题型三：已知切线斜率求参数 PAGEREF _Tc28689 \h 6
\l "_Tc23547" 题型四：确定过一点可以做切线条数 PAGEREF _Tc23547 \h 8
\l "_Tc5883" 题型五：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc5883 \h 9
\l "_Tc21038" 题型六：距离问题转化为相切问题 PAGEREF _Tc21038 \h 13
\l "_Tc25263" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc25263 \h 14
\l "_Tc5836" 三、专项训练 PAGEREF _Tc5836 \h 18
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
4、已知和存在（）条公切线问题
二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 .
【答案】-2
【详解】因为，定义域为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以不符合题意，所以直线的斜率为，
所以，所以.
故答案为：.
2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数在处的切线方程为 ．（结果写成一般式）
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以在处的切线方程为，整理得，
故答案为：.
3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，则点即为.
∵，∴切线斜率为，
∴切线方程为，即.
故答案为：.
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中）在处的切线为，则直线过定点的坐标为 .
【答案】
【详解】根据题意：函数在处有切线，切点为，
又，故切线斜率为，
直线的方程为，
该直线过定点的坐标为.
故答案为：
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
【答案】/
【详解】因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数过点的切线方程为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设切点为，，则切线斜率为，
所以，所求切线方程为，
将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，
因此，所求切线方程为.
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 .
【答案】或或(写出其中一条即可)
【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分，
设其切线方程为，代入，
得.由，得.
当时，，符合题意，
当时，，均符合题意，
所以切线方程.
设的切线的切点为.
由，得，，
得切线方程为.
将的坐标代入切线方程，得，
所以，所以切线方程为.
故答案为：或或(写出其中一条即可)
4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程 .
【答案】
【详解】设
，，解得：，；
当是切点时，切线方程为：，即；
当不是切点时，设切点坐标为，
则在点处的切线方程为：，
代入点得：，
，
解得：，切点为，与重合，不合题意；
综上所述：切线方程为.
故答案为：.
5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ．
【答案】
【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，①
又，则切线斜率为，②
由①②解得，，所以，切线的斜率为，
切线方程为，即.
故答案为：.
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【详解】，则，
设直线l与曲线的切点，则直线l的斜率，
由于直线斜率为，则，解得，
所以，即切点为，
故，解得．
故选：A.
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线与曲线相切，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【详解】设切点为，
，故斜率为，
则切线方程为，
整理得，
所以，解得.
故选：B
3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数（、）在点处的切线斜率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】的定义域为R，，
又在点处的切线斜率为，∴，
∴，
当且仅当，即，时，“”成立，
∴的最小值为.
故选：C．
4．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设切点为，则，解得，
所以．令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
故选：A
5．（2023上·天津·高三统考期中）已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则 .
【答案】3
【详解】设切点坐标为，易知，
则，由切线方程为可得，
即，解得，即切点坐标为，
将代入切线方程可得，解得.
故答案为：3
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【答案】A
【详解】，故，，
，，
设切点为，则，且，
整理得到，解得，，
故切线方程为，
故选：A
2．（2021下·北京·高二校考期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴ 方程有两个不同的解，
∴ 曲线过点的切线有两条，
故选：C.
3．（2021下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点作曲线的切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【详解】因为，
设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.
将代入，得即：或，
所以，此时，切点为；
或
因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.
故选：C.
4．（2019上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设在曲线上的切点为，，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，即，
解得，，.
因此，过点可向引切线，有三条.
故选：C.
题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【详解】设切点．因为，所以，
所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；
当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，
则，即．
综上，或．
故选：D
2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期中）过点作曲线切线有且只有两条，则b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设切点为，
由，则，
所以过的切线方程为，即，
故有且仅有两根，
设，则，
当时，，此时单调递增；
当，，此时单调递减，
又当时，，，，
所以的图象如下：
故有且仅有两根，则b的取值范围为．
故选：A．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设曲线在点处的切线为，
由可知直线的斜率为，
故直线的方程为，
将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解，
构造函数，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
且当时，；
，当，即时，，
即当时，；
故为了使方程有两个不相等的正数解，
则须使.
故选：B.
5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知：，故，设切点为
根据导数的几何意义，知切线斜率为，切线方程为,
将点坐标代入切线方程可得
化简可得
即函数与函数有三个不同的交点.
故，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
则当时，有极小值，
当时，有极大值.
所以的取值范围为.
故选：D.
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【详解】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为，
则，解得，
所以切点为，代入切线方程，可得，
即切线为，由两平行线间的距离，
所以最小值为，
故选：C．
2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】A
【详解】由，得，令，则，
令得，当时，单调递减，当时，单调递增；
由，得，令，
的图像如下图：

则表示上一点与上一点的距离的平方，
显然，当过M点的的切线与平行时，最小，
设上与平行的切线的切点为，由，解得，
所以切点为，切点到的距离的平方为，
即的最小值为8；
故选：A.
3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】点是曲线上的任意一点，设，
令，解得1或（舍去），，此时，
∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
点到直线的最小距离.
故选：A.
题型七：公切线问题
1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
【答案】或（写出一个即可）
【详解】设公切线与曲线切于点，
与曲线切于点.
由，得.由，得.
令，即，则，
且，
即，
化为，
所以，解得或.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.
故答案为：或，写出任意一个即可.
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线与的一条公切线方程： .
【答案】（或）（答案不唯一）
【详解】设公切线与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
由，求导得，由，求导得，
于是，即有，公切线方程为，
显然该切线过点，因此，
整理得，即，解得或，
当时，，公切线方程为，当时，，公切线方程为.
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题可知，，，
设与曲线相切的切点为，与相切的切点为，
则有公共切线斜率为，则，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
设，，，
可得时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，,
可得处取得极大值，且为最大值，
则正实数a的取值范围，
故答案为：
5．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时， 求的极值；
(2)若曲线与曲线存在2 条公切线， 求a的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值；
(2).
【详解】（1）当时，设，显然，
求导得，由，得，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以在取得极大值，无极小值.
（2）设曲线上切点，则切线斜率为，方程为，
依题意，切线与曲线相切，于是方程有两个相等的正实根，
而，则，且，即有，
由公切线有两条，得关于的方程:有两个不同的实数解，
令，则与的图象有两个交点，
由，求导得，由，得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
因此，函数的图象如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以a的取值范围是.
三、专项训练
1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．-2D．
【答案】B
【详解】由题意知在曲线上，所以.
又，所以曲线在点处的切线的斜率为.
又因为曲线在点处切线的倾斜角为，所以切线的斜率为1.
故而.由解得，所以.
故选：B
2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵，∴，∴，，
∴所求的切线方程为，即.
故选：D
3．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．
C．D．不存在
【答案】A
【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，
即
故选：A
4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则的最小值为（ ）
A．B．C．ln 2D．
【答案】B
【详解】设直线与曲线相切的切点为，由求导得，
于是，则，，
设，求导得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此当时，，
所以的最小值为.
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解法一 由，得．设切点坐标为，
则切线方程为，
把代入可得，即，
因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由，得，令，得．
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，且，则点在曲线的下方，
数形结合可知，过点可作曲线的2条切线．
故选：B
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】由题意知，
因为与曲线相切，
所以，整理得，
同理，
则，是方程的两个实数根，
所以，
所以．
故选：.
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，
求导得，依题意，，于是，
令函数，显然函数在上单调递增，且，
则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，
所以.
故选：B
8．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
设切点为， 则，
因为，所以切线斜率为，
由题知，解得或（舍），
所以，此时点到直线的距离，
故选：B.
9．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【详解】由，得，
设切点坐标为，
则，切线方程为，
将代入可得，即，
依题意关于的方程有两个不同的解、，
即关于的方程有两个不同的解、，
．
故选：A．
二、多选题
10．（2023下·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】因为点在直线上，所以.
由，则求导可得，
所以在点处的切线的斜率为.
故选：AD.
11．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】，，则，当且仅当即等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，
选项A中直线的斜率为，符合题意；
选项B中直线的斜率为，不符合题意；
选项C中直线的斜率为，符合题意；
选项D中直线的斜率为，符合题意；
故选：ACD.
12．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】CD
【详解】设切点，
由函数，可得，
则切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点在切线上，可得，
即，
又因为过点可以作三条直线与函数相切，
即方程有三个不同的实数解，且不是方程的解，
即有三个不同的实数解，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又由，且当时，，当时，，
当,
所以实数的取值范围为，结合选项C、D符合题意.
故选：CD.

三、填空题
13．（2024上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数在点处的切线与直线平行，则实数 .
【答案】
【详解】由题设，则，故.
故答案为：
14．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ．
【答案】
【详解】当时，，所以切点的坐标为，
当时，，，所以切线的斜率，
所以切线的方程为：
而，即过点
当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，
将代入切线方程得：，得
当切线与相切时，切线与数的图象只有两个公点，
设切线：与在处相切，
由，得，
所以，得，，所以切点坐标为
代入切线：，得，
因此在处的切线与的图像有三个公共点时，的取值范围为：.
故答案为：.
四、单空题
15．（2023下·高二课时练习）已知函数是曲线的一条切线，则 .
【答案】/
【详解】设切点为，∵，∴，∴，
∴切线方程为，又点在曲线上，
∴，∴，∴，∴.
故答案为：
五、问答题
16．（2023上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，与有公切线，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：由函数，可得，
当时，可得时，，单调递减，
时，，单调递增；
当时，可得时，，单调递增，
时，，单调递减.
（2）解：设公切线与和的切点分别为，
可得，可得切线方程为，
即，即
由，可得，则，所以切线方程为
所以，可得，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
又由当时，；当时，，
所以，所以时，即实数的取值范围为.第一步
设的切点
设的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得：
整理得：
联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；