江苏省宿迁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省宿迁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合{为不大于的正奇数}，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】{为不大于的正奇数}，，故.
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：D.
3. 若，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
4. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为.
故选：B.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度
B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度
C. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得，
再将图象向左平移个单位长度，得.
故选：B.
6. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，由于，则，
因为在区间上单调递增，则，
所以，解得，因此，的取值范围为.
故选：A.
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对任意的，，则恒成立，
由可得，解得，
故函数的定义域为，
因为，
所以，函数为奇函数，排除D选项，
由得，可得，
故函数有无数个零点，排除B选项，
当时，，，则，
则，此时，，排除A选项.
故选：C.
8. 设a，b，c为实数，不等式解集是或，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，1和3为方程的两根，且，
所以，即，，
所以.
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】若，，则，A错误；
因为，，所以，B正确；
因为对数函数为减函数，，所以，C错误；
因为，所以，所以，D正确.
故选：BD.
10. 已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 函数在上单调递增
D. 若不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】因为定义在实数集上的函数满足，
对于选项，令可得，解得，
令可得，解得，
所以，A对；
对于B选项，令可得，则，
令可得，故函数为偶函数，B对；
对于C选项，任取、且，则，可得，
所以，
故函数在上为增函数，
又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错；
对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数，
由可得，则，可得或，
解得或，
因此，不等式的解集为，D对.
故选：ABD.
11. 已知函数，函数部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. ，
B. 的最小正周期是
C. 的对称中心，
D. 若方程在上有且只有个根，则
【答案】ACD
【解析】对A，由图分析可知：，，得，或，
因为，所以，
由，得，即，
又，所以，
又，所以，即得，，
又，所以，所以，故A正确；
对B，，
因为，
，
故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误；
对C，，
由可得，
因此，函数的对称中心为，故C正确；
对D，由，得，
因为，所以，
令、、、、、，
解得、、、、、．
又在上有个根，则根从小到大、、、、、．
再令，解得，则第个根为，，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为_______.
【答案】
【解析】由题意得，则，则，则其增区间为.
13. 已知，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】且，
，，
则．
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为______.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则______.
【答案】
【解析】因为，由于，则，
则，
所以，即函数的值域为，
因为，
，
所以，
所以，函数的图象关于点对称，
因为函数为奇函数，则，
所以，则函数的图象关于点对称，
因为函数与的图象有个交点，记为，
不妨设，
所以，点与点关于点对称，
且有，，
所以，，
因此.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简与求值：
（1）；
（2）已知，求的值.
解：（1）原式.
（2）由，则有，
所以，故.
16. 设全集，集合，集合，其中.
（1）若，求.
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1），
当，，所以，
所以.
（2）因为“”是“”的充分条件，所以.
，所以，所以.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）已知，先化简再求值.
解：（1）解法一：因为，则，
因为，联立，得，
解得，所以.
解法二：因为，，所以，
所以，即，
因为，
因为，则，所以，，
所以.
（2）解法一：因为
，
由（1）得，所以；
解法二：
.
由，解得，，所以，
所以.
18. 为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和.
（1）求常数的值；
（2）写出的解析式；
（3）当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元?
解：（1）依题意得，，所以，解得，故的值为.
（2）依题意可知，
又由（1）得，，
当时，，
当时，，
所以.
（3）当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，所以；
又，故.
答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元.
19. 设b为实数，已知是定义在上的奇函数.
（1）求的值，并用定义证明函数在上的单调性；
（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）设方程的两个根为，若，求的取值范围.
解：（1）由函数是定义在上的奇函数，得，
则，即，所以，则，
设，且，则，
由，得，，则，
所以在上单调递减.
（2）依题意，，
而函数在上单调递减，
则，，
因此，
当时，，解得，则；
当时，，解得，则，
所以的取值范围是或.
（3）由（2）知，，且函数是上的单调递减函数，
方程等价于，
整理得，
化为，
令，则有，
且恒成立，
则关于的一元二次方程有两个不等实根，设为、，且，，
于是，，
，
又，则，
由，得，则，
解得或，因此或，
所以的取值范围是.