江苏省宿迁市2024_2025学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份江苏省宿迁市2024_2025学年高一数学上学期期末试题含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 函数的图象大致为， 若，则下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{为不大于的正奇数}，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】{为不大于的正奇数}，，故.
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：D.
3. 若，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数式和对数式的互化可得结果.
【详解】因为，所以，.
故选：A.
4. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为.
故选：B.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度
B. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度
C. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度
D. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意分析判断即可.
【详解】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，
再将图象向左平移个单位长度，得.
故选：B
6. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围.
【详解】当时，由于，则，
因为在区间上单调递增，则，
所以，，解得，因此，的取值范围为.
故选：A.
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性、在上的函数值符号以及函数的零点个数，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，则恒成立，
由可得，解得，
故函数的定义域为，
因为，
所以，函数为奇函数，排除D选项，
由得，可得，
故函数有无数个零点，排除B选项，
当时，，，则，
则，此时，，排除A选项.
故选：C.
8. 设a，b，c为实数，不等式解集是或，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据韦达定理得，，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】由题意，1和3为方程的两根，且，
所以，即，，
所以.
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例判断A，结合不等式性质判断B，结合对数函数性质判断C，结合指数函数性质判断D.
【详解】若，，则，A错误；
因为，，所以，B正确；
因为对数函数为减函数，，所以，C错误；
因为，所以，所以，D正确；
故选：BD.
10. 已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 函数在上单调递增
D. 若不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法可求出、的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可.
【详解】因为定义在实数集上的函数满足，
对于选项，令可得，解得，
令可得，解得，
所以，，A对；
对于B选项，令可得，则，
令可得，故函数为偶函数，B对；
对于C选项，任取、且，则，可得，
所以，，故函数在上为增函数，
又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错；
对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数，
由可得，则，可得或，
解得或，
因此，不等式的解集为，D对.
故选：ABD.
11. 已知函数，函数部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. ，
B. 的最小正周期是
C. 的对称中心，
D. 若方程在上有且只有个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D．
【详解】对A，由图分析可知：，，得，或，
因为，所以，
由，得，即，
又，所以，
又，
所以，即得，，
又，所以，所以，故A正确；
对B，，
因为，
，
故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误；
对C，，
由可得，
因此，函数的对称中心为，故C正确；
对D，由，得，
因为，所以，
令、、、、、，
解得、、、、、．
又在上有个根，则根从小到大、、、、、．
再令，解得，则第个根为，，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数图象经过点，则函数的增区间为_______.
【答案】
【解析】
【分析】直接代入即可求出，则得到其增区间.
【详解】由题意得，则，则，
则其增区间为.
故答案为：.
13. 已知，且，则的值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由，结合已知即可求解．
【详解】解：且，
，
，
则．
故答案为：．
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为______.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值.
【详解】因为，由于，则，则，
所以，，即函数的值域为，
因为，
，
所以，，
所以，函数的图象关于点对称，
因为函数为奇函数，则，
所以，，则函数的图象关于点对称，
因为函数与的图象有个交点，记为，
不妨设，
所以，点与点关于点对称，且有，，
所以，，，
因此，
故答案为：；.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解：
（1）若函数与的图象关于点对称，则；
（2）若函数与的图象关于直线对称，则.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 化简与求值：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质、对数的换底公式以及特殊角的正弦值计算可得结果；
（2）利用平方关系求出的值，进而可求得的值，代入计算即可得解.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
由，则有，
所以，，故.
16. 设全集，集合，集合，其中.
（1）若，求.
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，结合结合运算法则求结论，
（2）根据充分条件定义条件可转化为，根据包含关系列不等式求的范围.
【小问1详解】
，
当，，
所以，
所以
【小问2详解】
因为“”是“”的充分条件，所以.
，所以
所以.
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）已知，先化简再求值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）解法一：分析可得，根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出的值；
解法二：利用平方关系求出的值，分析得出，利用平方关系可求出的值；
（2）解法一：利用诱导公式化简得出，根据（1）中、的值代入计算可得出的值；
解法二：利用诱导公式化简得出，根据（1）中的结果求出的值，代值计算可得出的值.
【小问1详解】
解法一：因为，则，
因为，联立，得，
解得，所以.
解法二：因为，，所以，
所以，即，
因为，
因为，则，所以，，所以.
【小问2详解】
解法一：因为
，
由（1）得，所以；
解法二：
.
由，解得，，所以，
所以.
18. 为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和.
（1）求常数的值；
（2）写出的解析式；
（3）当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元?
【答案】（1）
（2）
（3）当为平方米时，取得最小值，最小值是万元
【解析】
【分析】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值；
（2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式；
（3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
依题意得，，所以，解得，故的值为.
【小问2详解】
依题意可知，又由（1）得，，
当时，
，
当时，，
所以.
【小问3详解】
当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以；
又，故.
答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元.
19. 设b为实数，已知是定义在上的奇函数.
（1）求的值，并用定义证明函数在上的单调性；
（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）设方程的两个根为，若，求的取值范围.
【答案】（1），证明见解析；
（2）或；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义求出的值；再利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证.
（2）由（1）的信息，求出在上的最值，结合已知构建不等式分类求出范围.
（3）由单调性脱去法则“f”，利用对数运算建立关系的一元二次方程，利用韦达定理得，再利用对数函数单调性，结合已知求出范围.
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，得，
则，即，所以，则，
设，且，则，
由，得，，则，
所以在上单调递减.
【小问2详解】
依题意，，
而函数在上单调递减，
则，，
因此，
当时，，解得，则；
当时，，解得，则，
所以的取值范围是或.
【小问3详解】
由（2）知，，且函数是上的单调递减函数，
方程等价于，
整理得，化为，
令，则有，
且恒成立，
则关于的一元二次方程有两个不等实根，设为、，且，，
于是，，
，
又，则，
由，得，则，
解得或，因此或，
所以的取值范围是.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；
②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；