数学：江苏省宿迁市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：江苏省宿迁市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】由题可知，即，又向量不共线，所以，，
所以实数k的取值范围为且.
故选：B.
2. 已知是空间中两条不重合的直线，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或和为异面直线，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则或和相交，故C错误；
对于D，若，，则，故D正确.
故选：D.
3. 下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ）
A. 互斥事件一定是对立事件B. 对立事件一定是互斥事件
C. 互斥事件一定是独立事件D. 独立事件一定是互斥事件
【答案】B
【解析】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确；
互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误.
故选：B.
4. 设，且，在复平面内，z对应点Z，则Z点的轨迹图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，且知，在复平面内，z对应的点Z的轨迹图形为圆环，
大圆半径为2，小圆半径为1，其面积为.
故选：C.
5. 用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图所示的边长为1的正方形，则原图中的长度为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】由直观图还原得到原图形如下，
由斜二测画法可得，，，
所以，
故选：C.
6. 在中，角所对的边分别为．若，则为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：，
即，
整理得：，
得或，所以为等腰或直角三角形.
故选：D.
7. 设，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
，
，且在上单调递增，
所以，即.
故选：B.
8. 八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ）
A. 39B. 48C. 57D. 60
【答案】A
【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
因为正八边形的每个内角为，所以，所以，
又因为，所以，，
由题意知，P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称，
所以设，则，
所以
，（），
所以当时，取得最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】设，，则，，
若，则，即，
因，，所以，A正确；
若，则，
而，，B错误；
若，则两复数至少一个为零，
即至少一个是，可得，故C正确；
若，可得，
而，可得，故D错.
故选：AC.
10. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．根据图形估计本次竞赛成绩得到以下数据中正确的是（ ）
A. B. 众数为80
C. 71百分位数是82D. 平均分是
【答案】ACD
【解析】由频率分布直方图可得，，
解得，故A正确；
众数的估计值为，故B错误；
前三组数据的频率之和为，
前四组数据的频率之和为，
则设71百分位数是，所以，解得，
所以71百分位数是82，故C正确；
由频率分布直方图估计平均数为
，
故D正确.
故选：ACD.
11. 在中，，，则下列判断正确的是（ ）
A. 的周长有最大值为21
B. 的平分线长的最大值为
C. 若，则边上的中线长为
D. 若，则该三角形有两解
【答案】ABD
【解析】A选项，，故，
变形得到，解得，
当且仅当时，等号成立，
故的周长有最大值为，A正确；
B选项，如图，为三角形的角平分线，故，
过点作⊥于点，⊥于点，
则，设，则，
，
又，
所以，解得，
由A选项可知，又，故，，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
故的平分线长的最大值为，B正确；
C选项，若，则，
故，
在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得
，
解得，故边上的中线长为，C错误；
D选项，若，则，
而，则该三角形有两解，D正确.
故选：ABD.
12. 如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是（ ）
A. 动点的轨迹长度为
B. 当//平面时，与平面的距离为
C. 直线与底面所成角的最大值为
D. 二面角的范围是
【答案】AC
【解析】正四棱柱中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，
对于A选项，因为且与所成角为，所以与所成角也为，
又，，
又在底面内，的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，
长度为，故选项A正确；
对于B选项，当//平面时，到平面的距离即为与平面的距离，
，
，
在中，，边上的高为2，
设到平面的距离为，则，
解得，故选项B错误；
对于C选项，连接，则线段为线段在底面的投影，
故直线与底面所成角为，且，
由选项A可知，当为正方形中心时，最短为1，此时最大为，
即，故选项C正确；
对于D选项，当在线段上时，，，
因为是等腰三角形，所以取中点，连接，则，
过作交于点，分别连接，则，
故四边形是等腰梯形，取中点，则，
所以是二面角的平面角，
在四边形中，，，
故，又，故，
由选项B知，，
在中，由余弦定理得，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
14. 如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为_________海里．
【答案】
【解析】由题意知：，，
所以，又，
由正弦定理知：，则海里.
故答案为：.
15. 某学习小组共10人，在一次测验中，4名女生的均分为70，方差为4；6名男生的均分为80，方差为14．则该小组10名同学的测验成绩的方差为__________．
【答案】34
【解析】该小组10名同学的测验成绩的均值为，
所以该小组10名同学的测验成绩的方差为
.
故答案为：34.
16. 用以棱长为2的正方体的各个顶点为球心，1为半径分别作球面截该正方体，则该正方体所剩部分的体积为__________，表面积为__________．
【答案】
【解析】由题意，以各顶点为球心所截几何体均为一个八分之一球体，且没有重叠部分，
所以正方体所剩部分的体积为，
其表面积为正方体表面积减去6个半径为1的圆，再加上球体表面积，
所以表面积为.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知平面向量，都是单位向量， ．
（1）求与的夹角；
（2）若，求在上的投影向量的坐标．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：（1）选①：由知，
又，所以，得，
则，又，则．
选②：由知，
又，所以有，得，
则，又，则.
选③：由知，
又，所以有，得，
则，又，则．
（2）设，
由（1）可知，解得或，
所以或，
即或．
18. 一只不透明的口袋内装有大小、质地相同，编号分别为1、2的两个球，从口袋内随机取1个球，记下号码后放回，这样重复取3次球，用有序实数组来表示样本点，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1号球，第二、第三次取到的都是2号球．
（1）请你写出该随机试验的样本空间；
（2）记“前两次取到的号码相同”为事件A，“后两次取到的号码相同”为事件．
①试判断事件A与事件是否为相互独立事件；
②求事件的概率．
解：（1）根据已知，可得样本空间
，
包含8个等可能样本点.
（2）①由（1）可知，事件A包含的样本点有：，，，，
故；
事件包含的基本事件有：，，，，故；
事件包含的基本事件有：，，故；
因，
故事件与事件为相互独立事件.
②方法一：事件包含的基本事件有：
，，，，，，故.
方法二：设事件的对立事件为，则事件包含的基本事件有：，，
故，
.
方法三：.
19. 已知，且为纯虚数，其中是虚数单位．
（1）若，求复数；
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围．
解：（1）设，则，
由为纯虚数知，，则且，故，
由得，则，
故复数或.
（2），
由在复平面内对应的点在第三象限知，解得，又，
故复数的实部的取值范围为．
20. 已知．
（1）求值；
（2）已知，求的值．
解：（1）法一：，
得，
．
法二：，
由，得，，
．
（2）法一：由，得，
，，
由（1）知，，
得．
法二：由，得，
或，
当时，，
当时，，
故，由（1）知，，
得．
21. 如图，在三棱台中，侧面底面，且，，底面为正三角形．
（1）求三棱台的体积；
（2）过点作平面平行于平面，分别交，，于，，．求证：平面．
解：（1）在三棱台，因为底面为正三角形，
所以也为正三角形，
因为，，所以，，
因为，，所以四边形为等腰梯形，
作交于，则， 所以梯形高为，
由侧面底面，侧面底面，，
，
所以平面，所以为三棱台的高，
由三棱台体积公式得
.
（2）连接，
因为平面于平面，平面平面，
平面平面，所以，同理：，由，
则四边形为平行四边形，
又，，得，
所以为中点，同理为中点，所以，，
因为，，所以四边形为菱形，所以，
因为为菱形对角线交点，
所以为中点，又，所以，又，则，
又，平面，平面，
所以平面．
22. 在圆的内接四边形中，，，，示意如图．
（1）若是圆的直径，求的长；
（2）若圆的直径为，求四边形的面积．
解：（1）连接，设，则，因为是圆O的直径，
则与为直角三角形，有，
又，，即，整理得，
所以.
（2）连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，，
在中，由余弦定理得，
设，则，即，解得，
设，同理在中有，，解得，
因此四边形的面积
，
所以四边形的面积为或.