2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高一上学期11月期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高一上学期11月期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，所以.

故选：A

2．若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由一次函数性质求解，

【详解】由题意得，即，

而在R上是增函数，则，

故选：B

3．下列四个式子中，是的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义，依次判断选项，即可求解.

【详解】对于A选项，，定义域为，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；

对于B选项，，定义域为无解，所以不是函数，B项错误；

对于C选项，定义域为，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；

对于D选项，当时，有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误．

故选:C．

4．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据壶的结构即可得出选项.

【详解】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，

所以在注水恒定的情况下：

开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，

由图可知选项A符合，

故选：A

5．若函数f(x)＝|x|＋x3，则f(lg 2)＋＋f(lg 5)＋＝(    )

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【分析】利用f(x)解析式的特征和对数的计算法则运算即可﹒

【详解】由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|，

又lg ＝－lg 2，lg ＝－lg 5．

∴原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2．

故选：A﹒

6．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式的“一正，二定，三相等”解题即可，一定要注意等号成立的条件.

【详解】选项A：因为，，由，，得，时等号成立，故选项A一定成立；选项B：时，，故选项B不一定成立；选项C：，，有，，得，且时等号成立，故选项C一定成立；选项D：因为，，，得，所以有，且时等号成立，故选项D一定成立.

故选：B

7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数是减函数，则由每一段是减函数，且左侧的函数值不小于右侧函数值求解.

【详解】因为函数在上单调递减，

∴，

解得，

即的取值范围是，

故选：C.

8．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，例如，，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式得到，结合表示不大于x的最大整数，得到，再从四个选项中选出的真子集即可，B选项满足.

【详解】，解得：，

因为表示不大于x的最大整数，

所以，故C选项为充要条件，舍去；

因为，但，

故是成立的充分不必要条件，B正确，

AD选项均不是的真子集，均不满足要求，

故选：B

9．下列函数在定义域内单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别讨论选项中函数的单调性，选取符合题意的选项.

【详解】由幂函数单调性可知，

函数在定义域内单调递增，不满足题意；

函数在定义域内单调递减，满足题意；

函数在，上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意；

函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.

故选：B

10．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得

【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，

当时，的图象如图所示，

由已知得，；

当时，的图象如图所示，

由已知可得，

，结合可得无解，

综上可知，的取值范围为，

故选：C

二、多选题

11．下列结论中正确的是（    ）

A．集合A＝{1，2}的真子集有4个

B．＝36

C．命题“不论m取何实数，方程必有实数根”是真命题

D．若函数在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1，2]

【答案】BD

【分析】A选项结合子集的概念即可判断；B选项结合指数的运算以及对数恒等式即可判断；C选项举出反例即可判断；D结合二次函数的性质即可判断.

【详解】A选项：集合A＝{1，2}的真子集有3个，故A错误；

B选项：因为，故B正确；

C选项：当时，方程无实数根，所以命题“不论m取何实数，方程必有实数根”是假命题，故C错误；

D选项：开口向上，对称轴为，，令，得，故实数m的取值范围是[1，2]，故D正确，

故选：BD.

12．下列说法正确的有（    ）

A．若a＞b，c＞d，则一定有ac＞bd

B．命题“”的否定为“≤0”

C．若正数x，y满足xy－9＝0，则x＋y的最小值是6

D．若a＞b＞0，c＞0，则

【答案】BCD

【分析】根据不等式性质判断A，由全称命题的否定判断B，由均值不等式判断C,作差比较法判断D.

【详解】对A，因为由不等式性质知时，，所以A错误；

对B，“”的否定为“≤0”正确，故B正确；

对C，因为正数x，y满足，则，当且仅当时等号成立，故正确；

对于D，，因为，所以，即，故D正确.

故选：BCD

13．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】ACD

【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.

【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，

所以，故A对，

若，则，得，故B错，

若，则或，因为，所以或，故C正确，

因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.

故选：ACD.

14．任何一个正整数x都可以表示成，此时．则下列结论正确的是（    ）

A．x是位数 B．x是n位数 C．是47位数 D．是11位数

【答案】AD

【分析】结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，所以x是位数，故A正确，B不正确；

设，则，所以，所以是48位数，故C不正确；

对于D，若，则，则，故是11位数，故D正确．

故选：AD

三、填空题

15．函数的定义域为__________.

【答案】

【分析】根据二次根式，分式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可.

【详解】解：因为

所以函数的定义域满足：，解得：且

所以函数的定义域为：.

故答案为：.

16．“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】由题意可得是的真子集，求解即可.

【详解】因为“”是“”的必要非充分条件，

所以是的真子集，

所以．

故答案为：

17．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为_______．（精确到0.1）（参考数据：）

【答案】0.8

【分析】根据给定条件，把代入进行计算即可作答.

【详解】在中，当时，，则，

所以视力的小数记录法的数据为0.8.

故答案为：0.8

18．某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是______（写出一个满足条件的函数解析式即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】由函数图象关于轴对称，得到函数是偶函数，可从二次函数考虑.

【详解】由函数图象关于轴对称，则函数是偶函数，

又在递减，在递增，

则此函数可以是，

故答案为：（答案不唯一）

19．函数且的图象恒过定点，则点坐标为__________．

【答案】

【分析】根据指数函数的性质，令，解得，代入求解即可.

【详解】令，即，则，

所以定点为，

故答案为：

20．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.

【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)

【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．

【详解】y=x和y=的图象如图所示：

∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，

故当或时，函数在上不是增函数．

故答案为：-2．

四、解答题

21．化简求值：

(1)；

(2)已知，求﹒

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据指数幂的计算方法计算即可；

(2)先利用完全平方公式求出和的值，从而求出结果.

【详解】（1）原式.

（2），，

，

又，

，

，

，

.

22．设，，．

(1)若，求；

(2)若且，求实数a的取值范围．

(3)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据补集和交集的定义运算即得；

（2）由并集结果可得，由此可构造不等式组求得结果；

（3）由交集结果可得，分别在和的情况下，根据包含关系构造不等式组求得结果.

【详解】（1）当时，，

，

，

；

（2）当时，由得：，

，

解得，

即实数的取值范围为；

（3），

，

当，即时，，满足；

当，即时，由得：，

解得；

综上所述，实数的取值范围为.

23．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案.

（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案.

【详解】（1）对，不等式恒成立，

令，则，

当时，即，解得.

因此，当p为真命题时，m的取值范围是.

（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以；

故当命题q为真时，.

又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题.

当p真q假时，由，得；

当p假q真时，由或，且，得.

综上所述，m的取值范围为.

24．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的长为，宽为.

(1)若菜园面积为64，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30，求菜园面积的最大值.

【答案】(1)长为，宽为；

(2)

【分析】（1）由已知可得，而篱笆总长为．利用基本不等式即可得出；

（2）由已知可得，而篱笆面积为．利用基本不等式即可得出；

【详解】（1）由已知可得，而篱笆总长为，

又，

当且仅当，即时等号成立，

易见，

菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小；

（2）由已知得，

∴菜园面积，

当且仅当，即时等号成立，

菜园面积的最大值为.

25．已知函数的定义域为.

(1)根据单调性的定义，证明在上是增函数；

(2)若函数是上的减函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数的单调性的定义即得；

（2）由题可得，进而可得在上恒成立，然后求函数的最值即得.

【详解】（1），，且，

则，

由于，且，

所以，，，

所以，

则有，

即，

所以在上是增函数；

（2）由于函数是上的减函数，且，

所以，

又，所以，即在上恒成立，

由（1）可知在上是增函数，

所以，

即的取值范围为.

26．定义区间、、、的长度均为，其中．

(1)求不等式的解集区间的长度；

(2)如果数集，都是集合的子集，那么集合，的长度的最小值和最大值分别是多少?

(3)已知不等式组的解集构成的各区间的长度和等于，求实数的范围．

【答案】(1)

(2)长度的最大值为，最小值为；长度的最大值为，最小值为；

(3)

【分析】（1）解一元二次不等式即可得到答案；

（2）由，得到，的长度，结合，都是集合的子集即可求解；

（3）设的解集为C，由于的解集为，长度为6，结合题意可得，然后分，和讨论的解集情况，列出不等式即可求解

【详解】（1）由得，

所以的解集为，故解集区间的长度为；

（2）由，可得到A的长度为，B的长度为，

因为，都是集合的子集，

所以长度的最大值为，最小值为；

长度的最大值为1，最小值为；

（3）由即得，此不等式解集长度为6，

又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，

设的解集为C，则，

由得，

当时，，显然成立；

当时，，

由得或，

所以或；

当时，，

由得即，

所以；

综上，实数k的范围是

27．已知幂函数，且．

（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使函数，在区间上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）存在，.

【解析】（1）根据幂函数的定义可求.

（2）根据二次函数的对称轴与区间的位置关系可得关于的方程，从而可求的值.

【详解】（1）因为是幂函数，故或．

当时，，满足，

当时，，不满足，

所以.

（2），

开口方向向下，对称轴，

①当时，在区间上递增，在区间上递减．

，均不符合题意舍去，

②当时，在区间上递增，

，符合题意，

综上所述：.

28．已知函数（且）的图象经过点.

(1)求a的值；

(2)设，

①求不等式的解集；

②若恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）代入已知点坐标可得值；

（2）①确定的单调性，利用单调性解不等式；

②不等式变形为，由基本不等式求得的最小值即可得的范围．

【详解】（1）由题意得，即，解得.

（2）①由（1）知，，则，

又函数与均为R上的增函数，所以是R上的增函数，又，

故不等式可化为，则，所以不等式的解集为.

②若恒成立，则恒成立，所以.

因为，当且仅当，即时等号成立，所以，

所以实数k的取值范围是.