2024-2025学年江西省智慧上进高一（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省智慧上进高一（上）期末数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样
C. 按学段分层随机抽样D. 随机数法
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
7.已知幂函数的图象过点，函数，则“”的一个充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
8.已知四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，，，的方差为，若，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共42分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取获得名同学的分数满分分：，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为B. 平均数为C. 分位数为D. 众数为
10.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为”，事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大”，则( )
A. 与是互斥事件B. 与是相互独立事件
C. D. 与是对立事件
11.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则( )
A. 当时，
B. 的单调递增区间为、
C. 若，，则的取值范围是
D. 方程的所有实数根之积为
三、填空题：本题共3小题，共110分。
12.某校名同学数学竞赛的成绩满分：分均在之间，进行适当分组后每组为左闭右开区间，画出频率分布直方图如图所示，若从这名参赛者中随机选取人，试估计其成绩在的概率为______．
13.已知正数，满足，则的最小值为______．
14.函数的图象的对称中心坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积分，不过关积分甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响．
求甲积分的概率；
求甲、乙两人的积分之和不超过分的概率．
17.本小题分
某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积图中阴影部分和中间白色正方形面积之和为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为元；在四个空角图中四个三角形建造水池和喷泉，造价为元；四个矩形路图中阴影部分不处理，造价忽略不计设长为单位：，长为单位：．
求关于的函数关系式；
设校园景观总造价为单位：元，求的最小值．
18.本小题分
已知定义域为的函数满足，，，且当时，．
求的值；
用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
若，求不等式的解集．
19.本小题分
定义一种新运算“”，，，
计算，并判断与的大小关系；
若函数有最小值，且最小值大于，求所有满足题意的整数的值；
已知关于的不等式的解集为，中的整数恰有个，求实数的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：集合，，
由交集定义得．
故选：．
根据交集的概念运算即可．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.
【解析】解：“，”的否定为，．
故选：．
根据全称命题的否定判断．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3.
【解析】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：．
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
本小题考查抽样方法，属基本题．
4.
【解析】解：函数，定义域为，
又因为，
是是偶函数，图象关于轴对称，排除，，
又因为且，排除．
故选：．
判断函数的奇偶性结合特殊的函数值可判断得解．
本题主要考查了函数的奇偶性，考查了函数的图象，属于基础题．
5.
【解析】解：记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，
则样本空间为：
，，，，，，
记事件表示“其中一个节气是立春”，
则，，，
从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为：
．
故选：．
若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.
【解析】解：函数和函数在上单调递增，
则函数在上单调递增．
又，，则．
由函数零点存在定理知，函数的零点所在区间为．
故选：．
根据函数零点存在性定理进行判断．
本题考查函数零点的判定，考查运算求解能力，是基础题．
7.
【解析】解：设幂函数，
因为其图象过点，
所以，解得，
所以，
所以，
又满足，
所以在上单调递减，
所以，即，解得，
所以的取值范围是
因为为的真子集，
故为一个充分不必要条件，
其他选项不合要求．
故选：．
根据幂函数过，求出，得到的解析式，并根据条件得到在上单调递减，从而得到不等式，求出的取值范围是，从而得到答案．
本题考查了幂函数、指数函数的性质，考查了充分不必要条件的定义，属于中档题．
8.
【解析】解：根据题意，四个不同的实数，，，，其中，，的方差为，
则，，的平均数为，
则其方差
，
同理，
若，则有，
即，
变形可得，
又由，，，互不相等，则，则必有．
故选：．
利用方差的定义，带字母进行运算，再利用相等关系进行变形化简即可得结果．
本题考查数据的方差计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
9.
【解析】解：随机抽取获得名同学的分数满分分：，，，，，，
极差为，故A正确；
平均数为，故B正确；
，则分位数是第个数据，故C错误；
众数为，故D正确．
故选：．
分别通过极差、平均数、百分位数、众数的概念逐个判断即可；
本题主要考查极差、平均数、百分位数、众数的概念，属于基础题．
10.
【解析】解：抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件表示“第一枚掷出的点数为奇数”，
事件表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件表示“两枚骰子掷出的点数之和为”，
事件表示“第二枚掷出的点数比第一枚大”，
事件与事件能同时发生，故事件，不是互斥事件，故A错误；
，，，
，与互不影响，故B正确；
事件，，，，，事件，
不可能同时发生，故事件与互斥，
，故C正确；
表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，
，，，，，，，，，，，，，，
事件与事件不是对立事件，故D错误．
故选：．
根据互斥事件判断，应用概率的乘法公式计算判断，应用互斥事件结合概率性质计算判断，根据对立事件定义判断．
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.
【解析】解：对于，当时，，
则，
又由为偶函数可得，故A正确；
对于，由题意，作出函数的图象，如图所示：
由此可得的单调递增区间为、和，故B错误；
对于，因为，，
所以只需对于任意，，
由图知，即，故C正确；
对于，令，则，
即，，
解得，即，
若，即，解得或；
若，即，解得，
所以方程所有实数根之积为，故D正确．
故选：．
利用偶函数的基本性质求出函数在上的解析式，可判断选项；
数形结合可判断选项；
数形结合得出函数在上的最大值，可判断选项；
求出方程所有的根，可判断选项．
本题考查了偶函数的性质、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
12.
【解析】解：根据题意可得，解得，
所以成绩在的频率为，
所以估计其成绩在的概率为．
故答案为：．
由频率分布直方图的性质面积和为，即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属基础题．
13.
【解析】解：因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，取得最小值．
故答案为：．
结合的活用应用常值代换，再应用基本不等式计算求解即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.
【解析】解：根据题意，设图象的对称中心坐标为，
则，
即，
整理可得，
此式对定义域内的任意值都成立，则必有，所以，
回代可得，解得，故对称中心坐标为．
故答案为：．
根据题意，设图象的对称中心坐标为，则有，结合函数的解析式分析可得答案．
本题考查函数对称性分析，涉及对数的运算性质，属于基础题．
15.解：，
当时，，
，
则或；
，．
又，，
则需，解得．
实数的取值范围是．
【解析】解不等式，求集合、，运用集合交集及补集定义运算求解；
根据交集关系得出，列出对应的不等式，求解即可．
本题考查一元二次不等式的解法，考查交集及其运算，是基础题．
16.解：甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响，
记事件“甲限时滚铁环过关”，
事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积分”，
易知与相互独立，则，
由独立事件概率公式得．
设事件“乙限时滚铁环过关”，
事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积分”，
易知与相互独立，则，
由独立事件概率公式得．
又与相互独立，
所以两人的积分之和为分的概率，
所以两人的积分之和不超过分的概率为．
【解析】先表示出每个事件，再利用独立事件的概率公式求解即可．
设出各个事件的概率，再结合独立事件和对立事件的概率公式求解即可．
本题考查相互独立事件相关知识，属于基础题．
17.解：由题有，即，
又，得，解得，
所以关于的函数关系式为，其中．
由题可得，水池和喷泉总造价为元，凉亭总造价为元，
所以总造价




，
当且仅当，即时等号成立，
又，所以当时，取最小值元．
【解析】利用面积建立，的关系，解得，并求得的范围即可得；
用表示出，变形后由基本不等式得最小值．
本题考查了函数与不等式在解决实际问题上的综合应用，是中档题．
18.解：因为，，，
令，可得，得．
证明：，，且，显然，，所以，
又，
所以，
因为当时，，
所以，即，
所以在定义域上是增函数．
因为函数的定义域为，所以，解得．
由，得等价于，
所以，
所以，解得或舍去，故，
故不等式的解集为．
【解析】令，即可求解；
由，，且，得到，再由当时，，即可求证；
由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可；
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
19.解：因为，，
所以．
，
，
所以．
，
令，问题转化为在区间上有最小值，且最小值大于，
因为过定点，
故只需
解得，而是整数，所以．
不等式，
即，
整理得，
则，则，或
令，则，，
所以的一个零点在内，
因为解集中的整数恰有个，
所以个整数解是，，，，
故的另一个零点在区间内．
所以即，
即，
解得或．
所以实数的取值范围是或．
【解析】根据新定义以及对数运算计算可得；
先求得的解析式，结合二次函数的值域，进而列不等式求得参数；
先化简得出，再根据及计算求解即可．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，二次方程根的分布，属于中档题．