河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末质量评估数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末质量评估数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了保持卷面清洁，不折叠､不破损，93B， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2答题前，考生务必先将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知直线与直线平行，则实数（ ）
A. B. 1C. 或1D.
【答案】C
【解析】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选：C.
2. 已知数列中，，且，则数列前10项的和（ ）
A. 19B. 20C. 90D. 100
【答案】D
【解析】根据，得数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以数列前10项和，
故选：D
3. 某电子设备制造厂所用元件来自两个不同的元件制造厂甲和乙，统计出2万个元件的情况如下表：
从中任取1件，设事件“取出的产品为正品”，则（ ）
A. 0.93B. 0.94C. 0.95D. 0.96
【答案】C
【解析】由题意.
故选：C.
4. 在的二项展开式中，常数项为（ ）
A. -160B. -20C. 20D. 160
【答案】A
【解析】
令得，
故展开式中常数项为
故选：A．
5. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中，，
三角形重心为，所以，，，
所以在上的投影为：，
所以点到直线的距离为：.故选：B
6. 某商店记录了某种产品近5个月的月销售量（千台）如下表，样本中心点为.由于保管不善，记录的5个数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数增大
B. 在确定的条件下，样本的相关系数
C. 在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则
D. 在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则可预计该款商品第6个月的销售量为6280台
【答案】D
【解析】对于A，因为回归直线方程过数据的样本中心点，
所以在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数不变，故A错误；
对于B，在确定的条件下，月销售量随着的增大而增大，
故样本的相关系数，故B错误；
对于C，在确定的条件下，样本中心点为在回归直线上，
可得，解得，故C错误；
对于D，由C得线性回归方程，
因为台，
则可预计该款商品第6个月的销售量为6280台，故D正确.
故选：D.
7. 已知为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A选项，，不等式两边同除以得，，A错误；
B选项，，则，
当时，，
故在上单调递增，
因为，所以，，B正确；
C选项，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
若，则，故，C错误；
D选项，令，则，
，此时，单调递增，
故当时，，，D错误.
故选：B
8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A 1B. C. D.
【答案】C
【解析】设，不妨取，使得，
则，
整理得，
此方程与相同，
所以有，解得，所以，
所以，当且仅当在线段上时，取等号.
因为，所以在圆内；，所以在圆外；
所以线段与圆必有交点（记为），
当重合时，，为其最小值，故选：C.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法
B. 分别抛掷两枚质地均匀的硬市，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，且，则
【答案】ABC
【解析】A选项：将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有种分配方法，A正确；
B选项：，B正确；
C选项，若随机变量，则，C正确；
D选项，若随机变量，且，则，
所以，D错误；
故选：ABC
10. 已知数列的前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，则
【答案】AC
【解析】对于A，若，则当时，，
当时，，符合，故，
则是等差数列，故A正确；
对于B，若，则，，，
故，不是等比数列，故B错误；
对于C，若是等差数列，则，故C正确；
对于D，若，符合是等比数列，且，
此时，，
不满足，故D错误.
故选：AC
11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最大值是
B. 在上单调递减
C. 对任意两个正实数，且，若，则
D. 若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于AB，，，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值是，故A正确，B错误；
对于C，由题意，，所以，
所以要证，只需证，
令，
要使，只需，
令，
要使，只需，
而，
注意到，
这意味着，即单调递增，
所以，
所以，所以，故原命题即成立，故C正确；
对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根，
或， ，
若是方程的根，则，这与矛盾，
所以或，
当时，，解得，但事实上此时，矛盾，
所以只能，此时，
又，所以，即，
所以的取值范围是，从而的取值范围是，故D正确.

故选：ACD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程：__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为离心率为，，
所以的标准方程为（答案不唯一），
与对应分母的比值为3或都对.
故答案为：（答案不唯一）
13. 已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】构造函数，，
当时，，所以当时，，
则在上单调递增，由于，所以，
为奇函数，所以，，
所以为偶函数，所以，且在上单调递减，
当时，不等式转化为，
即，
又在上单调递增，所以，
当时, 不等式转化为，
即，
又在上单调递减，所以.
所以不等式成立的的取值范围为，
故答案为：
14. 我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：
因为，
则，
两式相减得：，
所以，
类比以上方法求数列的前项和__________.
【答案】
【解析】因为，
则，
两式相减得：，
即
故答案为：
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 2024年世界人工智能大会（WAIC）将于7月4日至6日在上海世博中心举办.AI时代，用“光”替代“电”作为信息处理载体的光计算技术已经成为人工智能芯片的重要技术核心.为了研究学生对人工智能的了解情况，某学校随机抽取了100名学生进行调查，男生与女生的人数之比为，其中男生有30名对人工智能了解，女生有35名对人工智能不了解.
（1）完成列联表，依据表中数据，判断是否有的把握认为“对人工智能是否了解与性别有关”；
（2）从被调查对人工智能了解的学生中，利用分层抽样抽取5名学生.在这5名学生中抽取3名学生做人工智能知识普及小讲堂的主讲人，其中抽取男生的人数为.求出的分布列及数学期望.
附：，其中.
解：（1）抽取的100名学生中，男生人数为，女生人数为55，
由此得列联表：
所以，
所以没有的把握认为“对人工智能是否了解与性别有关”；
（2）抽取的100名学生中，对人工智能了解的男生､女生各有30名，20名，
利用分层抽样抽5人，其中男生有3人，女生有2人，
于是得的所有可能值是：，
，，，
所以的分布列为：
数学期望：.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是中点，所以，
因为平面，且，
所以平面.
（2）因为，由（1）知四边形为矩形，则，
又平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
取平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以.
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.
解：（1）如图所示：

根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上，
所以，得，
则，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解法一（非对称韦达）：
由题意如图所示：

设点，可设直线的方程为：，
联立，得，
由根与系数的关系，，
直线的方程：，①
直线的方程：，②
①②得，
因为，
所以，解得，
因此，点在定直线上.
解法二（齐次化）：
由题意如图所示：

设不过点的直线的方程为：，
由于直线过，所以.
设，点.
椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得，
，即，
即，由根与系数的关系，，
又由题意可得：，所以两式相除得：，
即，解得，
所以点在定直线上.
18. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）求证：．（参考数据：）
解：（1）当时，，
所以求在处的切线方程为：．
（2），
若函数在上单调递增，
则当，，即对于恒成立，
令，则，则函数在上单调递增，
所以，故．
（3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，
所以当时，，即，即在上总成立，
令得，，
化简得：，所以，，
累加得，即，命题成立．
法二：可设数列的前项和，
当时，，
当时，，时也成立，
所以，
本题即证，以下证明同法一．
法三：（i）当时，左式，右式显然成立；
（ii）假设当不等式成立，即，
那么当时，左式，
证明，即需证，
设，则，
即只需证，即，
设，
所以在单调递增，，可知不等式是也成立，
综上可知，不等式对于任意正整数都成立．
注意：中，写成或都可以．
19. 意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列.
（1）若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明.
（2）若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；
（3）若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和.
解：（1）.
；
（2）因为，
所以
.
，即，
即，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）得.
即，
令，化简得，
，
因为，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列，
故，
即；
法一：
；
法二：由得，
，
，
，
，
累加得，，
即，
所以，.
法三：
利用
..
正品
次品
甲
9400
600
乙
9600
400
第个月
1
2
3
4
5
月销售量
2.5
4
5
了解
不了解
总计
男生
30
女生
35
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
了解
不了解
总计
男生
30
15
45
女生
20
35
55
合计
50
50
100
1
2
3