河南省南阳市2023−2024学年高二下学期期终质量评估 数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市2023−2024学年高二下学期期终质量评估 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．
2．已知数列中，，且，则数列前10项的和（ ）
A．19B．20C．90D．100
3．某电子设备制造厂所用元件来自两个不同的元件制造厂甲和乙，统计出2万个元件的情况如下表：
从中任取1件，设事件“取出的产品为正品”，则（ ）
A．0.93B．0.94C．0.95D．0.96
4．在的二项展开式中，常数项为（ ）
A．-160B．-20C．20D．160
5．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．某商店记录了某种产品近5个月的月销售量（千台）如下表，样本中心点为.由于保管不善，记录的5个数据中有两个数据看不清楚，现用代替，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数增大
B．在确定的条件下，样本的相关系数
C．在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则
D．在确定的条件下，经过拟合，发现数据基本符合线性回归方程，则可预计该款商品第6个月的销售量为6280台
7．已知为自然对数的底数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法
B．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有
C．若随机变量，则
D．若随机变量，且，则
10．已知数列的前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，则
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．在上单调递减
C．对任意两个正实数，且，若，则
D．若关于的方程有3个不等实数根，则的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线的离心率为2，请写出一个的标准方程： .
13．已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是 .
14．我们利用“错位相减”的方法可求等比数列的前项和，进而可利用该法求数列的前项和，其操作步骤如下：
因为，
则，
两式相减得：，
所以，
类比以上方法求数列的前项和 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．2024年世界人工智能大会（WAIC）将于7月4日至6日在上海世博中心举办.AI时代，用“光”替代“电”作为信息处理载体的光计算技术已经成为人工智能芯片的重要技术核心.为了研究学生对人工智能的了解情况，某学校随机抽取了100名学生进行调查，男生与女生的人数之比为，其中男生有30名对人工智能了解，女生有35名对人工智能不了解.
(1)完成列联表，依据表中数据，判断是否有的把握认为“对人工智能是否了解与性别有关”；
(2)从被调查对人工智能了解的学生中，利用分层抽样抽取5名学生.在这5名学生中抽取3名学生做人工智能知识普及小讲堂的主讲人，其中抽取男生的人数为.求出的分布列及数学期望.
附：，其中.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.
18．已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)求证：．（参考数据：）
19．意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列.
(1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明.
(2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；
(3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和.
参考答案
1．【答案】C
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选C.
2．【答案】D
【分析】根据等差数列的定义及求和公式即可求解.
【详解】根据，得数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以数列前10项的和，
故选D.
3．【答案】C
【分析】直接由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】由题意.
故选C.
4．【答案】A
【分析】根据二项展开式的通式即可得到答案.
【详解】
令得，
故展开式中常数项为
故选A．
5．【答案】B
【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可.
【详解】在空间直角坐标系中，，
三角形重心为，所以，，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为.
故选B.
6．【答案】D
【分析】根据回归直线方程过数据的样本中心点可判断A；根据月销售量随着的增大而增大可判断B；根据样本中心点在回归直线上可判断C；求出回归直线方程，则可预计该款商品第6个月的销售量可判断D.
【详解】对于A，因为回归直线方程过数据的样本中心点，
所以在确定的条件下，去掉样本点，则样本的相关系数不变，故A错误；
对于B，在确定的条件下，月销售量随着的增大而增大，
故样本的相关系数，故B错误；
对于C，在确定的条件下，样本中心点为在回归直线上，
可得，解得，故C错误；
对于D，由C得线性回归方程，
因为台，
则可预计该款商品第6个月的销售量为6280台，故D正确.
故选D.
7．【答案】B
【分析】A选项，利用不等式的基本性质得到；B选项，构造，求导得到其单调性，得到，；C选项，构造，求导得到其单调性，故若时，，C错误；D选项，构造，求导得到，，此时单调递增，故，D错误.
【详解】A选项，，不等式两边同除以得，，A错误；
B选项，，则，
当时，，故在上单调递增，
因为，所以，，B正确；
C选项，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
若，则，故，C错误；
D选项，令，则，
，此时，单调递增，
故当时，，，D错误.
故选B.
【方法总结】构造函数比较大小，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
8．【答案】C
【分析】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等号)即可得解.
【详解】设，不妨取，使得，
则，
整理得，
此方程与相同，
所以有，解得，
所以，
所以，当且仅当在线段上时，取等号.
因为，所以在圆内；
，所以在圆外；
所以线段与圆必有交点（记为），
当重合时，，为其最小值，
故选C.
【关键点拨】解决本题时，关键是利用阿波罗尼斯圆将变为，再由当在线段上时，求出最小值.
9．【答案】ABC
【分析】A选项：其中一个学校可能分配到1人、2人或3人；B选项：利用条件概率公式直接进行求解判断；C选项：若随机变量，则；D选项：根据正态分布的对称性进行求解判断.
【详解】A选项：将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有种分配方法，A正确；
B选项：，B正确；
C选项，若随机变量，则，C正确；
D选项，若随机变量，且，则，
所以，D错误；
故选ABC.
10．【答案】AC
【分析】利用和的关系即可判断A,B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项.
【详解】对于A，若，则当时，，
当时，，符合，故，
则是等差数列，故A正确；
对于B，若，则，，，
故，不是等比数列，故B错误；
对于C，若是等差数列，则，故C正确；
对于D，若，符合是等比数列，且，
此时，，
不满足，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【分析】对于AB，直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况即可判断；对于C，通过分析得出要证，只需证，从而构造函数即可判断；对于D，画出函数图象，通过数形结合分析得出，此时，进一步将的范围转换成复合型二次函数的值域来求即可.
【详解】于AB，，，当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值是，故A正确，B错误；
对于C，由题意，，所以，
所以要证，只需证，
令，
要使，只需，
令，
要使，只需，
而，
注意到，
这意味着，即单调递增，
所以，
所以，所以，故原命题即成立，故C正确；
对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根，
或， ，
若是方程的根，则，这与矛盾，
所以或，
当时，，解得，但事实上此时，矛盾，
所以只能，此时，
又，所以，即，
所以的取值范围是，从而的取值范围是，故D正确.

故选ACD.
【关键点拨】判断C选项的关键在于不断利用分析法，并构造适当的函数进行说明，由此即可顺利得解.
12．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据双曲线离心率和的关系，可得到，只要满足以上关系的即可
【详解】因为离心率为，，
所以的标准方程为（答案不唯一），
与对应分母的比值为3或都对.
故答案为：（答案不唯一）.
13．【答案】
【分析】构造函数，利用导函数分析函数的单调性，奇偶性分类讨论解不等式即可.
【详解】构造函数，，
当时，，所以当时，，
则在上单调递增，由于，所以，
为奇函数，所以，，
所以为偶函数，所以，且在上单调递减，
当时，不等式转化为，即，
又在上单调递增，所以，
当时, 不等式转化为，即，
又在上单调递减，所以.
所以不等式成立的的取值范围为，
故答案为：.
【方法总结】构造函数，利用函数的性质分类讨论解不等式即可.
14．【答案】
【分析】根据错位相减法，结合求的操作步骤类比求即可.
【详解】因为，
则，
两式相减得：，
即
故答案为：.
15．【答案】(1)列联表见解析，没有
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出抽取的100名学生中男生人数和女生人数，列出列联表，求出即可求解；
（2）求出抽取的100名学生中，对人工智能了解的男生､女生的人数，根据分层抽样求出男生和女生的人数，求出的可能取值，写出分布列即可求出期望.
【详解】（1）抽取的100名学生中，男生人数为，女生人数为55，
由此得列联表：
所以，
所以没有的把握认为“对人工智能是否了解与性别有关”；
（2）抽取的100名学生中，对人工智能了解的男生､女生各有30名，20名，
利用分层抽样抽5人，其中男生有3人，女生有2人，
于是得的所有可能值是：，
，，，
所以的分布列为：
的数学期望：.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而证明平面，即可得到，再由，即可得证；
（2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是的中点，所以，
因为平面，且，
所以平面.
（2）因为，由（1）知四边形为矩形，则，
又平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
取平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以.
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由左、右顶点为，先求，再设点的坐标，利用斜率公式表示条件，结合点在椭圆上，由此可得椭圆方程.
（2）解法一（非对称韦达）：设点的坐标及直线的方程为，联立直线与椭圆的方程组，化简写出韦达定理，然后表示出直线，的方程相除结合韦达定理化简即可；解法二（齐次化）：设不过点的直线的方程，由题意求出的值，然后表示出直线，的斜率，设点，结合椭圆方程化简分析即可.
【详解】（1）如图所示：

根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上，
所以，得，
则，
解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解法一（非对称韦达）：
由题意如图所示：

设点，可设直线的方程为：，
联立，得，
由根与系数的关系，，
直线的方程：，①
直线的方程：，②
①②得，
因为，
所以，解得，
因此，点在定直线上.
解法二（齐次化）：
由题意如图所示：

设不过点的直线的方程为：，
由于直线过，所以.
设，点.
椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得，
，即，
即，由根与系数的关系，，
又由题意可得：，所以两式相除得：，
即，解得，
所以点在定直线上.
18．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意，求出，即可得出切线方程；
（2）由函数在上单调递增得，当时，分离参数得对于恒成立，由导数求出最值，即可求解；
（3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，令得，，根据累加法即可证明；法二：设数列的前项和，得出，证明即可，证法同法一；法三：用数学归纳法证明．
【详解】（1）当时，，
所以求在处的切线方程为：．
（2），
若函数在上单调递增，
则当，，即对于恒成立，
令，则，则函数在上单调递增，
所以，故．
（3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，
所以当时，，即，即在上总成立，
令得，，
化简得：，所以，，
累加得，即，命题成立．
法二：可设数列的前项和，
当时，，
当时，，时也成立，
所以，
本题即证，以下证明同法一．
法三：（i）当时，左式，右式显然成立；
（ii）假设当不等式成立，即，
那么当时，左式，
证明，即需证，
设，则，
即只需证，即，
设，
所以在上单调递增，，可知不等式也成立，
综上可知，不等式对于任意正整数都成立．
19．【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接按照斐波那契数列的定义来求解即可；
（2）结合斐波那契数列的定义、等比数列的定义直接证明即可；
（3）首先得出，思路一：直接由等比数列求和公式即可求解；思路二：由累加法求和即可得解；思路三：由裂项求和法即可得解.
【详解】（1）.
；
（2）因为，
所以
.
，即，
即，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）得.
即，
令，化简得，
，
因为，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列，
故，
即；
法一：
；
法二：由得，
，
，
，
，
累加得，，
即，
所以，.
法三：
利用
..
【关键点拨】第三问的关键是得出，由此即可顺利得解.正品
次品
甲
9400
600
乙
9600
400
第个月
1
2
3
4
5
月销售量
2.5
4
5
了解
不了解
总计
男生
30
女生
35
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
了解
不了解
总计
男生
30
15
45
女生
20
35
55
合计
50
50
100
1
2
3