湖南省浏阳市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版）

这是一份湖南省浏阳市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D.
2. 已知非零向量，，且、、不共面，若，则（ ）
A. B. C. 8D. 13
【答案】B
【解析】因为，则存在，使得，
即，
则，解得，，所以.
故选：B.
3. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,
若是正三角形,则，即，即，
即有，则，解得.
故选：C.
4. 已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
则，解得：①，
又∵点在圆的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故选：B．
5. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为的顶点，，，
可知的重心为点，即点，
由题意，可知，
所以的外心为斜边的中点，即点，
所以的欧拉线方程为，
即.
故选：C.
6. 已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，，则，
两式相减得，
即，∴.
故选D.
7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，，
∴，即，
∵平面，平面，∴平面.
∴直线到平面的距离为点到平面的距离.
设平面的法向量为，则，
令，则，∴，
∴点到平面的距离为.
故选：D.
8. 已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
可知：，，，，，，
可得，
，
即，
可得，，
解得：或，
因为，所以，
所以舍去，，
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18.分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A. 的倾斜角为，的斜率为
B. 的斜率为，经过点，
C. 经过点，，经过点，
D. 的方向向量为，的方向向量为
【答案】BCD
【解析】对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.
故选：BCD.
10. 长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（ ）
A. 点在曲线内
B. 直线与曲线没有公共点
C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上
D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为
【答案】ABC
【解析】设线段中点，则，，
故，即，表示以原点为圆心，为半径的圆，故C选项正确；A选项，点满足在曲线内，A选项正确；
B选项，直线，即，圆心到直线的距离，故直线与圆无公共点，B选项正确；
D选项，圆心到直线的距离为，又，所得由三个点到直线的距离为，D选项错误；
故选：ABC.
11. 在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（ ）
A. ∥平面
B. 面⊥面
C. 直线到平面的距离是
D. 点到直线的距离是
【答案】ABD
【解析】A.如图所示：
连接交于点E，连接DE，所以，又平面，
平面，所以平面，故正确；
B.因为，D是AC的中点，所以，又平面平面ABC，
所以平面，又平面，所以面⊥面，故正确；
C.∵平面，∴到平面的距离等于点到平面的距离，
C.以D点为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，即，不妨取，
所求距离，故错误；
D.如图所示：
作，连接，因为平面ABC，所以，
又，所以平面，则，
又，所以，
故正确；
故选：ABD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
13. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为___________.
【答案】900
【解析】不妨设BB1=1，则AB=，
，
∴直线AB1与C1B所成角为90°．
14. 已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为__________________
【答案】
【解析】圆：的圆心，半径，
由点，点，直线的斜率，
线段的中垂线过点，且斜率为，方程为，即，
直线的方程为，即，
由，得，
则所求圆的圆心，半径为，
所以圆的标准方程为.
四、解答题：本题共5小题，共7分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系.设，则有.
（1）因为分别为的中点，所以.
所以.所以.
又因为平面，所以平面.
（2）由（1），知，所以
设平面的一个法向量为
则，即.解得.令，则.
设平面的一个法向量为，则，即.
得.令，则，因为，所以.故平面平面
16. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程，并求的值；
（2）过焦点直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
解：（1）抛物线：的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得，所以抛物线方程为，
又因为点在抛物线上，所以，即.
（2）由（1）可知抛物线的焦点，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
由，消去整理得，
所以，则，，
所以，
，
又，所以，，
因为，所以，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即.
17. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
解：（1）设，到定直线的距离为则，
故，平方后化简可得，
故点的轨迹的方程为：
（2）由题意，,
设直线的方程为，,，,，
由，可得，
所以，．
则，，
所以
；
当直线的斜率不存在时，，此时，
综上，为定值．

18. 已知四棱锥中，四边形等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，
（1）求证：；
（2）是否存在一点，满足，且使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；若存在，指出点的位置，否则，请说明理由.
（1）证明：取的中点，连接,
因为，所以，又，所以是等边三角形，
所以，所以是直角三角形，所以，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以；
（2）解：为中点即可满足条件，理由如下：
取的中点,连接，则，
平面平面，平面，平面平面，
所以平面，由为等边三角形，可得，
在直角三角形中，，
以为坐标原点，以为轴，过平行于直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为．
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
于是，解得或（舍去），
所以点为中点时，使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19. 已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.
解：（1）由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，，

则椭圆方程：.
（2）设直线方程为，，，
由，消去x得，，
，
则，，
，
，
又点在椭圆上，则，即，
则，
即，则，
即
，
解得，此时，
即直线的方程为，
所以直线恒过定点.
（3）设直线的方程为，，，

由，消去得，
，
即，则，，
所以
，
点到直线的距离，
所以，
又，，所以
，
所以
则当即时，取最大值为.