江苏省常州市溧阳市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市溧阳市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意.
故选：C．
2. 命题“，都有”的否定为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，都有
【答案】A
【解析】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确.
故选：A.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，所以或，，
即或，因此题中应是必要不充分条件．
故选：B．
4. 已知，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因，
由在R上单调递增，可得，即；
由在0，+∞内单调递增，可得，即；
由在0，+∞内单调递增，可得，即；
综上所述：.
故选：D.
5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】A
【解析】，
设，，
令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.
故选：A.
6. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为是定义在，上的偶函数，当时，单调递减，，
所以时，函数单调递增，，
所以的解集，，，的解集，
当时，的解集，，，
时的解集，，，
则不等式可转化为或，
解得，或，或．
故选：C．
7. 已知函数的图象是在R上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得：fx的图象关于点对称；
；
又fx在上连续不断，且在上单调递增，所以fx在上单调递增.
.
故选：B.
8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A. 8096B. 4048C. 2024D. 1012
【答案】B
【解析】若函数图象的对称中心为，则为奇函数，
即为奇函数，
必有且，解得，
则的对称中心为，所以，
设
，
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为当且仅当时取等号，
所以，A正确；
对于B，取则，B错误；
对于C，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，因为所以，D正确．
故选：ACD.
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A.
B. 关于对称
C. 在区间上有644个零点
D. 若在上是增函数，则的最大值为
【答案】BC
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应解析式为，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，令，得，即，
令，解得，
所以在区间上有644个零点，故C正确；
对于D，首先，取，则当时，有，
由复合函数单调性可知此时也单调递增，故D错误.
故选：BC.
11. 如图，将边长为1的正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴时，又以为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点滚动时的曲线方程为y=fx，则下列说法正确的为（ ）
A.
B.
C.
D. 在区间内单调递增
【答案】ABD
【解析】因为正方形的边长为1，所以其对角线，如图，
由正方形的滚动轨迹知，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
当时，位于点2，1，即，
当时，位于点，即f3=0，
当时，位于点，即，
当时，位于点，即，
……，
所以，即函数是以4为周期的周期函数.
所以，AB正确；
，，
∴，
与单调性一致，函数在内单调递增，则函数在上单调递增，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，则的定义域为______.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，
则，所以，
所以函数定义域为.
13. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意知，令，解得，
所以，
对于函数，对称轴为，
所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数上单调递增，所以函数在上单调递减，
则，得，即，解得，
所以实数的取值范围为.
14. 已知正实数满足方程，则的最小值为______．
【答案】
【解析】令，
因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
又由得，
即，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1）
.
（2）
.
16. 已知集合.
（1）求；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
解：（1）因为即，
所以，所以；
由，可得或，
所以或x≥4，进而可得，
所以或x≥4，.
（2）因为，
所以，所以，所以；
又或x≥4，
若，则，所以，
所以实数的取值范围是.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）直接写出的值；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围．
条件①：当时，函数取得最小值；
条件②：为函数的一个零点．
解：（1）由对称性可知函数的周期满足，解得.
（2）若选条件①：当时，函数取得最小值，
则，解得，又，
所以只能，由图可知，解得，
所以此时函数的解析式为；
若选条件②：为函数的一个零点，
由图可知，则当时，函数取得最小值，
这又回到了条件①，由以上可知此时同样有，
综上所述，无论是选条件①还是选条件②，函数的解析式均为.
（3）由题意结合题图可知，在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，
则该零点只能是，
所以，即实数的取值范围为.
18. 已知是定义在上的奇函数，当时．
（1）求的解析式；
（2）根据定义证明在上单调递减，并指出在定义域内的单调性；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）依题是定义在上的奇函数，
当时，
当时，，
则，所以.
（2）当时，，
任取，且，
则，
因为，且，所以，
故，即，所以在上单调递减，
根据奇函数的性质可知在上的单调递减.
（3）因为，
化为，即，
根据在上的单调递减，
则，在时恒成立，
即恒成立，故，解得，
故实数k的取值范围为.
19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意的，均有，则称与关于任意交换．
（1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
解：（1）与hx关于是唯一交换，理由如下：
因为，，
令，所以，解得，
所以有唯一解，所以与hx关于唯一交换.
（2）由题意可知，对任意的x∈R，成立，
即对任意的x∈R，；
因为hx为函数，且，故，
故，即，
所以，
综上所述，.
（3）当时，，
因为与关于唯一交换，
所以存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得，
即存在唯一实数，使得；
令，
且定义域均为R，
又，
，
所以都是偶函数，所以为偶函数，
因此，若存在唯一实数使得，只能是，
所以，
综上所述，的取值为.