2024-2025学年新疆乌鲁木齐市八一中学七年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年新疆乌鲁木齐市八一中学七年级（下）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列选项中，左、右两边的图案是通过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）13的平方根是（ ）
A．±13B．13C．-13D．169
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P在第二象限，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣4，3）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
4．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠4B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠3D．∠D+∠DCA＝180°
5．（3分）下列命题：①对顶角相等；②实数与数轴上的点一一对应；③同旁内角互补，两直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．是真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（3分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠BOE＝36°，有下列结论：①∠AOC＝72°；②∠EOF＝90°；③∠AOD＝2∠COF；④∠AOD＝3∠BOE，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．点A（a2+1，﹣|b|﹣1）一定在第四象限
B．点P（2，6）到x轴的距离为6
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上
D．若x﹣y＝0，则点P（x，y）一定在第一、第三象限角平分线上
8．（3分）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1＝120°，则斜面的坡角∠2的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
9．（3分）18的立方根是 ，16的算术平方根是 ．
10．（3分）将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为 ．
11．（3分）已知点A坐标为（2+a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝ ．
12．（3分）设x、y为实数，且y=21-3x-18-18-3x，则x+y的立方根是 ．
13．（3分）下列方程：①x+y；②x+2y=3；③3x+1=8y+12；④xy＝5；⑤x+π＝5中，是二元一次方程的是 （只填序号）．
14．（3分）如图，点O为直线AB上一点，一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠DOC＝45°，∠M＝30°，∠N＝60°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当∠AOM的度数是 时，直线MN与直线OC互相平行．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
15．（6分）（1）计算：-23+38×(-3)2-|1-2|．
（2）求下列式子中的x：14(x+2)2-4=0．
16．（6分）已知，如图，在折线A﹣B﹣C﹣D中，BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，且BE∥CF，判断AB与CD是否平行，并说明理由．
17．（6分）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣14的立方根是3，c是67-1的整数部分．
（1）求a，b，c的值．
（2）求a+2b+c的平方根．
18．（7分）在下面的证明过程中，请在括号内填上推理的根据．
如图，AD∥BC，∠B＝∠D，点G是BC延长线上一点，若∠AEF＝∠DCG，求证：EF∥AD．
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠D＝∠DCG（ ）
∵∠B＝∠D（已知）
∴∠B＝∠DCG（等量代换）
∴AB∥DC（ ）
∴∠AEF＝∠EFC（ ）
∵∠AEF＝∠DCG（已知）
∴∠EFC＝∠DCG（等量代换）
∴EF∥BC（ ）
∵AD∥BC（已知）
∴EF∥AD（ ）
19．（7分）某公园有7个景区．如图所示的是某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点A的坐标是（1，0），点B位于坐标原点的西北方向．
（1）根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标；
（2）若点M的坐标为（7，1），点N的坐标为（﹣3，﹣3），请在坐标系中描出点M，N；
（3）如果1个单位长度代表35m，请你用方向和距离描述点N相对于点B的位置．
20．（7分）如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
21．（7分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b）且a，b满足|a+3|+b+1=0，已知点C坐标为（0，4）．
（1）S△ABC的面积；
（2）若点M在y轴上，且S△ACM=15S△ABC，求点M的坐标．
22．（12分）【问题探究】如何证明三角形内角和定理？
（1）方法1：过△ABC的顶点A作DE∥BC，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明．
如图1，在△ABC中，过顶点A作DE∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°．
（2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成△ABC边AB上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明．
如图2，在△ABC中，P是边AB上的任意一点，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【定理应用】
（3）如图3，点P是△ABC边AB上的任意一点，射线PE∥BC，BD平分∠PBE，点N为线段PE上一点（点N不与点P，D，E重合），且∠PNB＝2∠PEB．若∠ABC＝60°，∠DBE＝α，试用含α的式子表示∠DBN．
2024-2025学年新疆乌鲁木齐市八一中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列选项中，左、右两边的图案是通过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可．
【解答】解：∵只有B选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质，
∴只有B选项的图形是通过平移得到，
∴B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．
2．（3分）13的平方根是（ ）
A．±13B．13C．-13D．169
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：根据平方根的定义可知：13的平方根是±13，
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P在第二象限，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣4，3）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）
【分析】点P在第二象限，那么点P的横纵坐标的符号为负，正；进而根据P到x轴的距离为纵坐标的绝对值．到y轴的距离为横坐标的绝对值判断出具体坐标．
【解答】解：∵点P在第二象限，且第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
∵点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等于3
∴点P的坐标是（﹣3，4）．
故选：A．
【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
4．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠4B．∠D＝∠DCE
C．∠1＝∠3D．∠D+∠DCA＝180°
【分析】根据平行线的判定定理判定求解即可．
【解答】解：A、由∠2＝∠4，可以利用内错角相等，两直线平行得到BD∥AC，不能得到AB∥CD，不符合题意；
B、由∠D＝∠DCE，可以利用内错角相等，两直线平行得到BD∥AC，不能得到AB∥CD，不符合题意；
C、由∠1＝∠3，可以利用内错角相等，两直线平行得到得到AB∥CD，符合题意；
D、由∠D+∠DCA＝180°，可以利用内错角相等，两直线平行得到BD∥AC，不能得到AB∥CD，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
5．（3分）下列命题：①对顶角相等；②实数与数轴上的点一一对应；③同旁内角互补，两直线平行；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．是真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据对顶角的性质，实数与数轴，平行线的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：①对顶角相等；是真命题；
②实数与数轴上的点一一对应；是真命题；
③同旁内角互补，两直线平行；是真命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．不是命题．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，对顶角的性质，实数与数轴，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．（3分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠BOE＝36°，有下列结论：①∠AOC＝72°；②∠EOF＝90°；③∠AOD＝2∠COF；④∠AOD＝3∠BOE，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用角平分线的有关计算，平角的定义，对顶角相等来分别计算求解．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°，
∴∠DOE＝∠BOE＝36°，
∴∠DOB＝2∠BOE＝∠AOC＝36°×2＝72°，
∴①正确；
∵∠AOC＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝108°．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF＝∠COF＝54°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝90°，
∴②正确；
∵∠AOD＝∠BOC，∠BOF＝∠COF，
∴∠AOD＝2∠COF，
∴③正确；
∵∠AOD＝∠BOC＝108°，∠BOE＝36°，
∴∠AOD＝3∠BOE，
∴④正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的有关计算，对顶角相等，平角的定义，理解角的相关知识是解答关键．
7．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．点A（a2+1，﹣|b|﹣1）一定在第四象限
B．点P（2，6）到x轴的距离为6
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上
D．若x﹣y＝0，则点P（x，y）一定在第一、第三象限角平分线上
【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．因为a2≥0，所以a2+1＞0；因为|b|≥0，所以﹣|b|﹣1＜0，所以点A（a2+1，﹣|b|﹣1）一定在第四象限，说法正确，故此选项不符合题意．
B．点P（2，6）到y轴的距离是6，说法正确，故此选项不符合题意；
C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，原说法不正确，故此选项符合题意；
D．若x﹣y＝0，则x、y相等，故则点P（x，y）一定在第一、第三象限角平分线上，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．（3分）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向与斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1＝120°，则斜面的坡角∠2的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】先根据平行线的性质求出∠OEB，根据对顶角相等求出∠AEG，再根据直角三角形的性质求出∠2．
【解答】解：∵OC∥AB，
∴∠1+∠OEB＝180°，
∵∠1＝120°，
∴∠OEB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AEG＝60°，
∵OG⊥AD，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查的是坡角的概念、平行线的性质、直角三角形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
9．（3分）18的立方根是 12 ，16的算术平方根是 2 ．
【分析】根据立方根，算术平方根的计算填空即可．
【解答】解：∵318=12，16=4，
∴16的算术平方根=4=2，
故答案为：12；2．
【点评】本题考查了立方根、算术平方根的计算，掌握其计算方法是关键．
10．（3分）将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为 142° ．
【分析】过A作AM∥a，得到AM∥b，推出∠MAB＝∠2＝52°，∠3+∠MAC＝180°，求出∠MAC＝38°，得到∠3＝142°，由对顶角的性质得到∠1＝∠3＝142°．
【解答】解：过A作AM∥a，
∵a∥b，
∴AM∥b，
∴∠MAB＝∠2＝52°，∠3+∠MAC＝180°，
∵∠MAC＝90°﹣∠MAB＝38°，
∴∠3＝142°，
∴∠1＝∠3＝142°．
故答案为：142°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠MAB＝∠2，∠3+∠MAC＝180°．
11．（3分）已知点A坐标为（2+a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝ -13 ．
【分析】由平行于x轴的点的纵坐标相同，可得﹣3a﹣4＝﹣3，解得a的值，则可得答案，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
【解答】解：∵点B的坐标为（5，﹣3），且AB∥x轴，
∴﹣3a﹣4＝﹣3，
∴a=-13，
故答案为：-13．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
12．（3分）设x、y为实数，且y=21-3x-18-18-3x，则x+y的立方根是 3 ．
【分析】可根据算术平方根的非负性得出x、y的值，进而问题可求解．
【解答】解：∵3x-18≥0，18-3x≥0，
∴3x﹣18＝0，即x＝6，
∴y＝21，
∴x+y＝27，
∴x+y的立方根是3；
故答案为：3．
【点评】本题主要考查算术平方根及立方根，解题的关键是熟练掌握立方根及算术平方根的非负性．
13．（3分）下列方程：①x+y；②x+2y=3；③3x+1=8y+12；④xy＝5；⑤x+π＝5中，是二元一次方程的是 ③ （只填序号）．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程，由此判断即可．
【解答】解：①不是方程；
②不是整式方程；
③是二元一次方程；
④是二元二次方程；
⑤是一元一次方程；
所以是二元一次方程的是③，
故答案为：③．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟知这个定义是解题的关键．
14．（3分）如图，点O为直线AB上一点，一副三角板如图摆放，其中∠C＝∠DOC＝45°，∠M＝30°，∠N＝60°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当∠AOM的度数是 75°或105° 时，直线MN与直线OC互相平行．
【分析】根据MN在OC左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到∠COM的度数，再求出∠AOM的度数即可．
【解答】解：当MN在OC右边时，如图，
∵MN∥OC，
∴∠M＝∠COM＝30°，
∵∠DOC＝∠C＝45°，
∴∠AOM＝∠COM+∠DOC＝75°；
当MN在OC左边时，如图，
∵MN∥OC，
∴∠M+∠COM＝180°，
∵∠M＝30°，
∴∠COM＝150°，
∵∠DOC＝∠C＝45°，
∴∠AOM＝∠COM﹣∠DOC＝105°；
综上所述，当∠AOM的度数是75°或105°时，直线MN与直线OC互相平行，
故答案为：75°或105°．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
15．（6分）（1）计算：-23+38×(-3)2-|1-2|．
（2）求下列式子中的x：14(x+2)2-4=0．
【分析】（1）利用乘方、立方根、算术平方根、绝对值的定义计算；
（2）移项整理方程后求平方根，再求x的值．
【解答】解：（1）原式=-8+2×3-(2-1)
=-8+6-2+1
=-1-2；
（2）原方程移项得14(x+2)2=4，
系数化为1得（x+2）2＝16，
∵（±4）2＝16，
∴x+2＝±4，
解得：x＝﹣6或x＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键．
16．（6分）已知，如图，在折线A﹣B﹣C﹣D中，BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，且BE∥CF，判断AB与CD是否平行，并说明理由．
【分析】根据平行线的性质得出∠EBC＝∠FCB，进一步得出∠ABC＝∠DCB即可解决问题．
【解答】解：AB∥CD，理由如下：
∵BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，
∴∠ABC＝2∠EBC，∠DCB＝2∠BCF．
又∵BE∥CF，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
17．（6分）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣14的立方根是3，c是67-1的整数部分．
（1）求a，b，c的值．
（2）求a+2b+c的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根以及估算无理数的方法即可求出a，b，c的值；
（2）根据第（1）问求出的a，b，c的值，先求得a+2b+c的值，即可求出a+2b+c的平方根．
【解答】解：（1）由条件可知2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣14的立方根是3，
∴3a+b﹣14＝27，
∴b＝26，
∵64＜67＜81，
∴8＜67＜9，
∴7＜67-1＜8，
∵c是67-1的整数部分．
∴c＝7；
（2）由条件可知a+2b+c＝5+2×26+7＝64，
∴a+2b+c的平方根为±8．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根以及无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．（7分）在下面的证明过程中，请在括号内填上推理的根据．
如图，AD∥BC，∠B＝∠D，点G是BC延长线上一点，若∠AEF＝∠DCG，求证：EF∥AD．
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠D＝∠DCG（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠B＝∠D（已知）
∴∠B＝∠DCG（等量代换）
∴AB∥DC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF＝∠EFC（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠AEF＝∠DCG（已知）
∴∠EFC＝∠DCG（等量代换）
∴EF∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）
∵AD∥BC（已知）
∴EF∥AD（ 平行于同一直线的两直线互相平行 ）
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠D＝∠DCG（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠D（已知），
∴∠B＝∠DCG（等量代换），
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEF＝∠DCG（已知），
∴∠EFC＝∠DCG（等量代换），
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行），
∵AD∥BC（已知），
∴EF∥AD（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．（7分）某公园有7个景区．如图所示的是某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点A的坐标是（1，0），点B位于坐标原点的西北方向．
（1）根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标；
（2）若点M的坐标为（7，1），点N的坐标为（﹣3，﹣3），请在坐标系中描出点M，N；
（3）如果1个单位长度代表35m，请你用方向和距离描述点N相对于点B的位置．
【分析】（1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点C的坐标；
（2）根据M的坐标为（7，1），点N的坐标为（﹣3，﹣3），在坐标系中标注M，N的位置；
（3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图1即为所求；
由图1可知，C（5，5）；
（2）点M，N位置，如图2即为所求；
（3）点N位于点B的正南方向，距离点B的位置：6×35＝210（m）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，方向角，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键．
20．（7分）如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 6 cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设未知数根据面积＝30cm2列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
【解答】解：（1）两个正方形面积之和为：2×(18)2=36（cm2），
∴拼成的大正方形的面积是36cm2，
∴大正方形的边长是6cm；
故答案为：6；
（2）设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，
则3x•2x＝30，
解得：x=5，
3x＝35＞6，
所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为30cm2．
【点评】本题考查了算术平方根实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
21．（7分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b）且a，b满足|a+3|+b+1=0，已知点C坐标为（0，4）．
（1）S△ABC的面积；
（2）若点M在y轴上，且S△ACM=15S△ABC，求点M的坐标．
【分析】（1）根据算术平方根的非负性求得a＝﹣3，b＝﹣1，从而得到点A，B得坐标．即可求得OA＝3，BC＝5，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设点M的坐标为（0，m），则CM＝|4﹣m|，由S△ACM=15S△ABC，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），a，b满足|a+3|+b+1=0，
∴a+3＝0，b+1＝0，
∴a＝﹣3，b＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），
∵C（0，4），
∴OA＝3，BC＝5，
∴S△ABC=12AO×BC=12×3×5=7.5；
（2）设点M的坐标为（0，m），则CM＝|4﹣m|，
∵S△ACM=15S△ABC，
∴12OA×CM=15×7.5，
即12×3×|4-m|=15×7.5，
解得：m＝3或5，
∴点M的坐标为（0，3）或（0，5）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积，能根据坐标求出线段长是解题的关键．
22．（12分）【问题探究】如何证明三角形内角和定理？
（1）方法1：过△ABC的顶点A作DE∥BC，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明．
如图1，在△ABC中，过顶点A作DE∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°．
（2）方法2：如果将顶点A这个特殊的位置换成△ABC边AB上的任意一点P，过点P分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明．
如图2，在△ABC中，P是边AB上的任意一点，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【定理应用】
（3）如图3，点P是△ABC边AB上的任意一点，射线PE∥BC，BD平分∠PBE，点N为线段PE上一点（点N不与点P，D，E重合），且∠PNB＝2∠PEB．若∠ABC＝60°，∠DBE＝α，试用含α的式子表示∠DBN．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可解答；
（2）如图2，过点P作PM∥BC交AC于点M，作PN∥AC交BC于点N，根据平行线的性质和平角的定义可解答；
（3）分两种情况：①如图3，当点N在线段PD上时，②如图4，当点N在线段DE上时，根据平行线的性质和角平分线的定义，三角形外角的性质可解答．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C．
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；
（2）证明：如图2，过点P作PM∥BC交AC于点M，作PN∥AC交BC于点N，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠A，∠3＝∠4＝∠C，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°；
（3）解：①如图3，当点N在线段PD上时，
∵BD平分∠PBE，
∴∠PBD＝∠DBE＝α，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝60°﹣2α，
∵PE∥BC，
∴∠PEB＝∠EBC＝60°﹣2α，
∵∠PNB＝2∠PEB，
∴∠PNB＝2（60°﹣2α）＝120°﹣4α，
∵PE∥BC，
∴∠DBC＝∠PDB＝α+60°﹣2α＝60°﹣α，
∴∠DBN＝∠PNB﹣∠PDB＝（120°﹣4α）﹣（60°﹣α）＝60°﹣3α；
②如图4，当点N在线段DE上时，
∠DBN＝∠PDB﹣∠PNB＝（60°﹣α）﹣（120°﹣4α）＝3α﹣60°；
综上：∠DBN＝60°﹣3α或∠DBN＝3α﹣60°．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
C
C
D
C
B