2025年中考数学总复习讲义（山东专用）41 第一部分 第七章 微专题八 线段最值模型的应用（无答案）

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【典例1】 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M，N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM＋MN的最小值为( )
A．9.6 B．10 C．12 D．12.8
[听课记录]




[跟踪训练]
1．如图，在矩形ABCD中，BC＝3，DC＝1，点O为对角线BD的中点，OE⊥BD，交BC于点E，点P是对角线BD上的动点，则PE＋PC的最小值为( )
A．2B．213
C．223D．233
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM＋MD长度的最小值为( )
A．52B．3
C．4D．5
模型二 两动点找三角形周长最小值问题
[模型展示]
M，N分别为OA和OB上的两动点，作点P关于OA, OB的对称点，然后连接两个对称点，与OA，OB的交点分别为M，N，此时△PMN有最小周长，周长最小值为P′P″的长度．
【典例2】 在草原上有两条交叉且笔直的公路OA，OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB＝30°，OP＝6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M，N，若存在M，N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是________．
[听课记录]




[跟踪训练]
1．(典例2变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N，P，Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为________．
2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
模型三 两动点求垂线段最短问题
[模型展示]
M，N分别为OA和OB上两动点，作点P关于OA的对称点P′，过点P′作P′N⊥OB，垂足为点N，交OA于点M，此时PM＋MN的值最小．
【典例3】 如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点F，P分别为BC，AC边上的动点，则PE＋PF的最小值为________．
[听课记录]




[跟踪训练]
1．如图，已知等边△ABC的边长为4，P，Q，R分别为边AB，BC，AC上的动点，则PR＋QR的最小值是( )
A．22B．2
C．23D．32
2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，∠ABD＝30°．若M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为________．
模型四 两定点一定长求最短问题
[模型展示]
将点A沿着与直线l平行的方向平移一个定长PQ至点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q，此时AP＋PQ＋QB的值最小．
【典例4】 (2024·泰安一模)如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝8，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM＋ON的最小值是________．
[听课记录]




[跟踪训练]
1．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是( )
A．8.5B．9
C．12D．12.5
2．如图，四边形ABCD是矩形，点G是AD边上任意一点(不与点A，D重合)，连接GB，GC．点E，F分别是GC，GB的中点，连接EF，AF，DE，过点F作FH∥DE，交AD于点H．若AB∶AD＝2∶3，S△GBC＝12，则AF＋FH＋EF的最小值是( )
A．5B．8
C．10D．13
模型五 “胡不归”模型
[模型展示]
胡不归模型问题解题步骤如下：
(1)将所求线段和改写为“BC＋baAC”的形式，若ba>1，提取系数，转化为小于1的形式解决；
(2)在AC的一侧，AB的异侧，构造一个角度α，使得sin α＝ba；
(3)最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题．
【典例5】 (2024·泰山二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心，3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP，BP，则13AP＋BP的最小值为( )
A．7B．4＋10
C．52D．213
[听课记录]




[跟踪训练]
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋3x－4与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，Q(0，2)，连接PQ，则PC＋2PQ的最小值是( )
A．6B．8
C．26D．42
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋12PB的最小值是________．
3．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0，2)，点B32，0，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．PA＋2PB的最小值是________．