2025年中考数学总复习课件(山东省专用)41 第一部分 第七章 微专题八 线段最值模型的应用

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模型一　将军饮马问题[模型展示]通过轴对称来确定，即作出其中一点B关于直线l的对称点B1，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．此时PA＋PB最短．
【典例1】　如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．在AB，AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M，N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM＋MN的最小值为(　　)A．9.6　　　B．10　　　C．12　　　D．12.8
又AD∥BC，∴∠ODF＝∠OBE，∴△BOE≌△DOF，∴DF＝BE，OF＝OE，连接FC，交BD于点P，连接PE，∴当点F，P，C三点共线时，PE＋PC的值最小，为CF的长，∵∠OBE＝∠CBD，∠BOE＝∠BCD＝90°，
模型二　两动点找三角形周长最小值问题[模型展示]M，N分别为OA和OB上的两动点，作点P关于OA, OB的对称点，然后连接两个对称点，与OA，OB的交点分别为M，N，此时△PMN有最小周长，周长最小值为P′P″的长度．
【典例2】　在草原上有两条交叉且笔直的公路OA，OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB＝30°，OP＝6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M，N，若存在M，N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是________．
6.5　[作P关于OB的对称点P′，作P关于OA的对称点P″，连接P′P″，分别交OB，OA于点N，M，则OP＝OP′＝OP″，则PM＋PN＋MN＝P″M＋P′N＋MN≥P′P″，∵∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°，∴△P′P″O是等边三角形，∴P′P″＝OP＝6.5．]
[跟踪训练]1．(典例2变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N，P，Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为________．
8　[如图，分别作点Q关于AB，AC的对称点G，H，连接GH分别交AB，AC于点N，P，连接AG，AH，GQ，HQ，AQ，由对称性可知，NG＝NQ，PH＝PQ，AQ＝AG＝AH，∴△NPQ的周长为PN＋NQ＋PQ＝PN＋NG＋PH＝GH，∵∠GAN＝∠QAN，∠HAP＝∠QAP，∠BAC＝30°，∴∠GAH＝2∠BAC＝60°，∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝QA，当AQ⊥BC时，AQ最短，即GH最短，此时△NPQ的周长最小，∵BC＝6，S△ABC＝24，∴AQ＝8，即△NPQ的周长的最小值为8．]
2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是(　　)A．3 　　　B．4C．5 　　　D．6
模型三　两动点求垂线段最短问题[模型展示]M，N分别为OA和OB上两动点，作点P关于OA的对称点P′，过点P′作P′N⊥OB，垂足为点N，交OA于点M，此时PM＋MN的值最小．
【典例3】　如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点F，P分别为BC，AC边上的动点，则PE＋PF的最小值为________．
2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，∠ABD＝30°．若M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为________．
3　[作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，
模型四　两定点一定长求最短问题[模型展示]将点A沿着与直线l平行的方向平移一个定长PQ至点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q，此时AP＋PQ＋QB的值最小．
【典例4】　(2024·泰安一模)如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝8，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM＋ON的最小值是________．
[跟踪训练]1．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是(　　)A．8.5B．9C．12D．12.5
B　[如图所示，设EF交BC于点D，连接AD，CP，∵EF垂直平分AC，∴DA＝DC，PA＝PC，∵△APB的周长为AB＋AP＋BP＝AB＋BP＋PC≥AB＋BC，当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB＋BC＝9．故选B．]
2．如图，四边形ABCD是矩形，点G是AD边上任意一点(不与点A，D重合)，连接GB，GC．点E，F分别是GC，GB的中点，连接EF，AF，DE，过点F作FH∥DE，交AD于点H．若AB∶AD＝2∶3，S△GBC＝12，则AF＋FH＋EF的最小值是(　　)A．5B．8C．10D．13
模型五　“胡不归”模型[模型展示]胡不归模型问题解题步骤如下：