2023-2024学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下命题为假命题的是( )
A. 对顶角相等B. 如果a=0，b=0，那么ab=0
C. 若a>b，则a2>b2D. 同旁内角互补，两直线平行
2.一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°，则∠2的度数为( )
A. 72°
B. 78°
C. 102°
D. 118°
3.如图，已知，l/​/AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°18′，则∠1的度数是( )
A. 40°18′
B. 49°42′
C. 50°18′
D. 50°42′
4.如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻的概率为( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 1
5.一副三角板如图摆放，且AB/​/CD，则∠1的度数为( )
A. 75°
B. 85°
C. 95°
D. 105°
6.解关于x、y的二元一次方程组y=x−5①3x−y=8②，将①代入②，消去y后所得到的方程是( )
A. 3x−x−5=8B. 3x+x−5=8C. 5x+x+5=8D. 3x−x+5=8
7.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( )
A. {7x−7=y9(x−1)=yB. {7x+7=y9(x−1)=yC. {7x+7=y9x−1=yD. {7x−7=y9x−1=y
8.用图象法解二元一次方程组kx−y+b=0x−y+2=0时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为( )
A. x=1y=2
B. x=2y=1
C. x=1y=2.5
D. x=1y=3
9.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是( )
A. 200B. 201C. 202D. 203
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.从分别标有数−3，−2，−1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是______．
11.一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子15颗，从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为14，则盒子中白色棋子共有______颗.
12.把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果…那么…”的形式：______．
13.从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是______．
14.五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为______．
15.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠2=130°，则∠EFG= ______度.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程组
(1)x−2y=1①4x+3y=26②；
(2)x+12=3y2(x+1)−y=11．
17.(本小题8分)
如图是小亮自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个实数.若自由转动转盘，当它停止转动时，请解答下列问题：
(1)指针指向负数的概率是______；
(2)指针指向无理数的概率是______；
(3)指针指向能被3整除的数的概率是______；
(4)求指针指向的数绝对值不小于6的概率．
18.(本小题7分)
对于任意实数m，n，定义关于“⊙”的一种运算如下：m⊙n=m+2n.例如3⊙4=3+2×4=11．
(1)求5⊙(−3)的值；
(2)若x⊙(−y)=−3，且y⊙x=−1，求x−y的值．
19.(本小题7分)
如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并说明理由．
20.(本小题7分)
在一个不透明的袋子中装有4个红球和6个白球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球，摸到______球的可能性大；
(2)摸出红球和白球的概率分别是多少？
(3)如果另拿红球和白球共8个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入______个红球，______个白球．
21.(本小题7分)
在如图所示的螳螂示意图中，AB//DE，∠ABC=124°，∠CDE=72°，求∠BCD的度数．
22.(本小题8分)
一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用的时间为20秒，若两车相向而行，则两车从相遇到离开的时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？
23.(本小题10分)
汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知以往甲、乙两种货车运货情况如表：
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
(2)若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物，如按每吨付运费50元，则货主应付运费总额为多少元？
(3)若货主共有20吨货，计划租用该公司的货车正好(每辆车都满载)把这批货运完，该汽车公司共有哪几种运货方案？
24.(本小题10分)
【教材回顾】
在本章的数学活动中，我们探究了“以方程x−y=0的解为坐标(x的值为横坐标，y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．
规定：以方程x−y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x−y=0的图象；
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
(1)请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组2x+y=4x−y=−1中的两个二元一次方程的图象(提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程)．
(2)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______．
【拓展延伸】
(3)已知二元一次方程ax+by=6的图象经过两点A(−1,3)和B(2,0)，试求a，b的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、如果a=0，b=0，那么ab=0，正确，是真命题，不符合题意；
C、若a>b，则a2>b2，错误，是假命题，符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
利用对顶角的性质、实数的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质及平行线的性质等知识，难度不大．
2.【答案】B
【解析】解：如图，
由题意得：AB/​/CD，
∴∠2=∠BCD，
∵∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，
∴∠BCD=78°，
∴∠2=78°．
故选：B．
由平行线的性质可得∠2=∠BCD，再由∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，可以求出∠BCD的度数，从而得到∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图：
∵CD⊥l，
∴∠CDE=90°，
∵∠C=40°18′，
∴∠2=90°−∠C=49°42′，
∵l/​/AB，
∴∠1=∠2=49°42′，
故选：B．
根据垂直定义可得∠CDE=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠2=49°42′，然后利用平行线的性质可得∠1=∠2=49°42′，即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂线，度分秒的换算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查概率的应用、必然事件，解答本题的关键是明确甲和乙相邻是必然事件．
根据题意可知：甲和乙相邻是必然事件，从而可以得到相应的概率．
【解答】
解：由题意可知，
甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，
∴甲和乙相邻的概率为1，
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：如图，∵AB/​/CD，
∴∠2=∠D=45°，
∵∠BAE=60°，
∴∠1=∠BAE+∠2=60°+45°=105°，
故选：D．
利用平行线的性质得到∠2=∠D=45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件∠D=45°，∠BAE=60°．
6.【答案】D
【解析】解：y=x−5①3x−y=8②，
把①代入②得：
3x−(x−5)=8，
3x−x+5=8，
2x+5=8，
2x=3，
x=32，
∴消去y后所得到的方程是：3x−x+5=8，
故选：D．
把方程①代入②，然后去括号即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组．
7.【答案】B
【解析】【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：{7x+7=y9(x−1)=y,
故选：B．
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
【解答】
解：∵直线y=kx+b与y=x+2的交点坐标为(1,3)，
∴二元一次方程组kx−y+b=0x−y+2=0的解为x=1y=3，
故选：D．
9.【答案】A
【解析】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得，
4x+3y=nx+2y=m，
两式相加得，m+n=5(x+y)，
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵200、201、202、203四个数中只有200是5的倍数，
∴m+n的值可能是200．
故选：A．
设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键．
10.【答案】37
【解析】解：∵写有数字−3、−2、−1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有−1、0、1，
∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是：37．
故答案为：37．
根据写有数字−3、−2、−1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有−1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．
本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于2的数个数和正确运用概率公式是解题的关键．
11.【答案】45
【解析】解：设盒子有白色棋子x颗，依题意有：
1515+x=14，
解得x=45，
经检验x=45是分式方程的解．
故答案为：45．
可设盒子有白色棋子x颗，根据围棋盒中有15颗黑色棋子和若干颗白色棋子，故棋子的总颗数为(15+x)颗，再根据黑色棋子的概率，结合概率公式列式解答即可．
本题考查概率公式．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
12.【答案】同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
13.【答案】3
【解析】解：从袋子中任意摸出1个或2个球，其中摸到红球是随机事件，
当3≤n≤10时，摸到红球是必然事件，
则n的最小值是3，
故答案为：3．
根据必然事件的概念解答即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14.【答案】26
【解析】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得：x+2y=32①2x+y=46②，
①+②得：3x+3y=78，
∴x+y=26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26．
故答案为：26．
设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x+y的值即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】65
【解析】解：∵∠2=130°，
∴∠EGF=50°，
∵AD/​/BC，
∴∠AEG=∠EGF=50°，
由翻折可知，∠DEF=∠GEF=180°−50°2=65°，
∵AD/​/BC，
∴∠EFG=∠DEF=65°，
故答案为：65．
根据平角等于180°，求出∠EGF，再两直线平行，内错角相等求出∠AEG，然后根据翻折的性质求解即可．
此题考查翻折问题，关键是根据翻折的性质得出∠DEF=∠GEF解答．
16.【答案】解：(1)x−2y=1①4x+3y=26②，
由①，可得：x=2y+1③，
③代入②，可得：4(2y+1)+3y=26，
解得y=2，
把y=2代入③，解得x=2×2+1=5，
∴原方程组的解是x=5y=2．
(2)x+12=3y①2(x+1)−y=11②，
由①，可得x−6y=−1③，
由②，可得2x−y=9④，
①−②×6，可得−11x=−55，
解得x=5，
把x=5代入③，可得：5−6y=−1，
解得y=1，
∴原方程组的解是x=5y=1．
【解析】(1)应用代入消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
17.【答案】512 112 13
【解析】解：20210=1， 62=6，32=9，
(1)因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向负数的有5种结果，
所以指针指向负数的概率是512，
故答案为：512；
(2)因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向无理数的有 3这1种结果，
所以指针指向无理数的概率是112，
故答案为：112；
(3)因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向能被3整除的数有有32、3、2021、 62这4种结果，
所以指针指向能被2整除的数的概率是412=13，
故答案为：13．
(4)因为自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向的数绝对值不小于6的有−10、 62、−8、32、2021这5种结果，
所以指针指向的数绝对值不小于6的概率为512．
(1)指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向负数的有5种结果，根据概率公式求解即可；
(2)指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向无理数的有 3这1种结果，根据概率公式求解即可；
(3)指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向能被3整除的数根据概率公式求解即可；
(4)指针指向的数字共有12种等可能结果，其中指针指向的数绝对值不小于6的有−10、 62、−8、32、2021这5种结果，根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
18.【答案】解：(1)5⊙(−3)=5+2×(−3)=−1；
(2)∵x⊙(−y)=−3，且y⊙x=−1，
∴x−2y=−3y+2x=−1，
解得：x=−1y=1，
∴x−y=−1−1=−2．
【解析】(1)先根据新运算得出算式，再求出即可；
(2)先根据新运算得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可．
本题考查了解二次一次方程组，能根据新运算得出算式和方程组是解此题的关键．
19.【答案】解：∠AED=∠C，理由如下：
∵∠1+∠ADG=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠ADG，
∴EF//AB，
∴∠3=∠ADE，
∵∠3=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE/​/BC，
∴∠AED=∠C．
【解析】先由平角的定义和已知条件证明∠2=∠ADG，即可证明EF/​/AB得到∠3=∠ADE，进而推出∠B=∠ADE，由此证明DE/​/BC，即可证明∠AED=∠C．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平角的定义，关键是平行线判定定理的应用．
20.【答案】白 5 3
【解析】解：(1)从中任意摸出1个球，摸到白球的可能性大；
故答案为：白；
(2)摸到红球的概率=410=25，摸到白球的概率=610=35，
(3)设应放入x个红球，(8−x)个白球，
根据题意得4+x10+8=6+8−x10+8，
解得x=5，
8−x=3，
所以应放入5个红球，3个白球．
故答案为：5；3．
(1)由于白球比红球多，所以摸到白球的可能性大；
(2)根据概率公式求解；
(3)设应放入x个红球，(8−x)个白球，根据概率公式得到4+x10+8=6+8−x10+8，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：正确理解概率公式是解决问题的关键．
21.【答案】解：延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，
∴∠A=∠ACB=28°，
∵AB//DE，
∴∠CFD=∠A=28°，
∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°，
∴∠ACD=72°−28°=44°，
∴∠BCD=∠ACD−∠ACB=16°．
【解析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACB=28°，根据平行线的性质得出∠CFD=∠A=28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数，于是得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：设快车每秒钟行xm，则慢车每秒钟行x−70+8020=x−7.5(m)，依题意有
4(x+x−7.5)=70+80，
解得x=22.5，
x−7.5=15．
答：快车每秒钟行22.5m，则慢车每秒钟行15m．
【解析】设快车每秒钟行xm，则慢车每秒钟行x−70+8020=x−7.5(m)，根据等量关系：若两车相向而行，则两车从相遇到离开的时间为4秒，列出方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到题目中隐含的等量关系．
23.【答案】解：(1)设甲种货车每辆可装x吨，乙种货车每辆可装y吨．
根据题意，得2x+3y=135x+6y=28.，
解方程组得x=2y=3.，
答：甲、乙两种货车每辆可分别装2吨、3吨；
(2)50×(8×2+6×3)=1700(元)．
答：货主应付货款1700元；
(3)设租用甲种货车共a辆，乙种货车b辆．根据题意，得2a+3b=20，
此方程的非负整数解共有四个：a=10b=0a=7b=2a=4b=4a=1b=6.
答：共有如下表所示的四种方案：

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
(1)两个相等关系：第一次2辆甲种货车载重的吨数+3辆乙种货车载重的吨数=13；第二次5辆甲种货车载重的吨数+6辆乙种货车载重的吨数=28，根据以上两个相等关系，列方程组求解．
(2)结合(1)的结果，求出8辆甲种货车和6辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以50即得货主应付运费；
(3)设租用甲种货车共a辆，乙种货车b辆．根据题意，得2a+3b=20，此方程的非负整数解共有四个．
24.【答案】(1,2) x=1y=2
【解析】解：(1)如图所示：
(2)观察图象，两条直线的交点坐标为(1,2)，由此得出这个二元一次方程组的解是x=1y=2，
故答案为：(1,2)，x=1y=2；
(43把点A(−1,3)和B(2,0)代入方程ax+by=6得：
−a+3b=6①2a=6②，
由②得：a=3，
把a=3代入①得b=3，
∴方程组解为a=3b=3．
(1)分别取两个点，让它们的坐标都能让方程2x+y=4和x−y=−1的左右两边相等，然后过两点画直线即可；
(2)观察图象，找出(2)中所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案；
(3)把点A(−1,3)和B(2,0)代入方程ax+by=6，解方程组可得．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象．第一次
第二次
甲种货车(辆)
2
5
乙种货车(辆)
3
6
累计运货(吨)
13
28
方案一
方案二
方案三
方案四
甲种货车(辆)
10
7
4
1
乙种货车(辆)
0
2
4
6