江西省吉安市十一校联盟2024-2025学年七年级下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省吉安市十一校联盟2024-2025学年七年级下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角的定义，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据对顶角的定义依次判断即可．
【详解】解：A、∠1和∠2没有公共点，不是对顶角，则本项不符合题意；
B、∠1和∠2有公共点，但两边不互为反向延长线，不是对顶角，则本项不符合题意；
C、∠1和∠2为对顶角，则本项符合题意；
D、∠1和∠2有公共点，但两边不互为反向延长线，不是对顶角，则本项不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算正确，符合题意；
故选：．
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 画饼充饥B. 水涨船高C. 一箭双雕D. 缘木求鱼
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，必然事件就是一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、“画饼充饥”是不可能事件；
B、“水涨船高”是必然事件；
C、“一箭双雕”是随机事件；
D、“缘木求鱼”是不可能事件；
故选B．
4. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
5. 如图，把一块含有，的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等求出，再由角的和差即可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得，，
∴，
∴，
故选：D．
6. 如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与互余，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分交于点E，
∴，，
∵，
∴与不一定相等，即不一定成立，
故③错误；
∵，，，
∴，即平分，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若与互补，，则_____．
【答案】##125度
【解析】
【分析】本题主要考查了补角的性质，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为，根据补角定义，，进行求解即可．
【详解】解：∵与互补，，
∴．
故答案为：．
8. 已知，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法逆运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2．
9. 已知，且，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式可得，结合，即可解答．
详解】解：∵，，
∴
故答案为：．
10. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________．
【答案】##79度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数，
【详解】解：如图，c'c
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
11. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题关键．
根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案．
【详解】解：设小正方形面积为，
飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成，
飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为，
飞镖扎在阴影区域的概率是，
故答案为：．
12. 一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当锐角______时，．
【答案】30
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线性质，根据 利用平行线的性质，即可得到的度数，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
【详解】如图：当时，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）如图，，，，求的度数．
【答案】（1）7；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，平行线的性质和判定，
（1）根据，再根据有理数的混合运算法则计算即可；
（2）先根据“同旁内角互补，两直线平行”得，再根据“两直线平行，内错角相等”得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：如图所示， ∵，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴．
14. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算单项式除以单项式得到化简的结果，把、再代入计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
15. 如图，点，分别在，上，交于点，交于点、，．试问与平行吗？请说明理由．
【答案】平行，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，
根据已知条件根据“同位角相等，两直线平行”说明，可得然后说明最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案．
【详解】解：，理由如下：
，
，
，
．
16. 如图，所有的小正方形的边长都是都在格点上（小正方形的顶点叫做格点请仅用无刻度直尺完成画图（不要求写画法）
（1）在图1中作线段，使，；
（2）在图2中作线段于点A，交于点．
【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，
对于（1），将线段向右平移6个单位长度，使点B与点C重合，点A与长为2，宽为1的对角线的顶点D，则即为所求作；
对于（2），连接点A和长为2，宽为1的长方形的对角线顶点E，可知，再根据，延长交于点H，则即为所求作.
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
如图所示，
17. 一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同．
（1）判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；
（2）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？
【答案】（1）不可能事件，0；
（2）5个白球．
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键．
（1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率．
（2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可．
【小问1详解】
因为口袋中装有3个红球和9个白球，
所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件，
所以它发生的概率是0．
【小问2详解】
设取走了x个白球．
由题意，得，
解得．
故取走了5个白球．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知，垂足分别为D、F，．
求证：．
证明：∵（已知）
∴（垂直的定义）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等知识，根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
19. 如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)．
（2）若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？
【答案】（1）
（2）17400
【解析】
【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算中的化简求值，根据题意列出相应的式子是解本题的关键．
（1）绿化的总面积等于矩形面积减去4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得出答案；
（2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元平方米，即可得出答案．
【小问1详解】
解：题意得：
．
答：绿化面积是平方米；
【小问2详解】
当，时，
(平方米)，
(元)，
答：完成绿化共需要17400元钱．
20. 为了提高学生阅读能力，恩江中学倡议七年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生有___________人；请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，求出“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；
（3）若学校七年级共有1500人，现从中随机抽取一名学生，你认为“抽到周末阅读时间为1.5小时的学生”与“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性哪个大？___________．（直接写出结果）
【答案】（1）100，图见解析
（2）“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数
（3）“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，可能性的大小，
对于（1），先根据阅读时间1小时的人数和百分比求出抽查的总人数，再补全统计图；
对于（2），用乘以“小时”所占的百分比即可；
对于（3），先求出各自的可能性，再比较得出答案．
【小问1详解】
解：阅读时间是1小时的有30人，占抽查人数的，
所以本次调查的学生有（人）．
所以阅读时间是小时的人数为（人），
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
【小问2详解】
解：，
即“1.5小时”部分所对的扇形圆心角度数；
【小问3详解】
解：“抽到周末阅读时间为1.5小时学生”的可能性为；
“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性为，
“抽到周末阅读时间不高于1小时的学生”的可能性大．
故答案为：抽到周末阅读时间不高于1小时的学生．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
【答案】（1）a2﹣ab+b2；（2）说明（1）中的等式成立，见解析；（3）﹣7y3．
【解析】
【分析】（1）由已知等式即可得出结论；
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（3）根据已知等式的规律化简求值即可．
【详解】解：（1）由已知等式可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3=a3+b3；
（3）原式=（x3+y3）﹣（x3+8y3）=﹣7y3．
【点睛】此题考查的是多项式乘多项式的探索规律题，掌握多项式乘多项式法则是解决此题的关键．
22. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
【教材还原】
观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______；
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______；
（2）根据图②所得的公式，若，，则_______．
【解决问题】
如图③，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积．
【答案】教材还原：；类比探究：（1）；（2）5；解决问题：种草区域的面积为23
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式，据此解决问题；
教材还原：用不同的方式求面积即可得出；
类比探究：（1）根据阴影部分面积等于大正方形面积减去两个白色长方形面积即可求解；
（2）根据图②所得的公式求解即可；
解决问题：根据类比探究得出的公式求解即可．
【详解】解：教材还原：图①等号左边大正方形的面积为，等号右边三部分面积和为，
用含字母的等式表示图中图形面积的运算为：；
故答案为：
类比探究：（1）阴影部分由两个正方形组成，面积和为，也可以看作大正方形减去两个白色长方形面积，面积和为，
用等式表示图中阴影部分图形的面积和为，
故答案为：；
（2）把，代入得，，
解得，，
故答案为：；
解决问题：∵于点，，，该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积为，
∴，即，
∵，即，
根据可得，，
解得，，
在和的区域内种草，种草区域的面积为，
所以种草区域的面积为23．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 【课题学习】平行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
（1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；；；
（2）过点E作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．