湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个实数中，无理数是（ ）
A．B．C．3.1415D．
2．点在第二象限内，则a的值可以是（ ）
A．B．C．0D．3
3．下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在方程中，用含y的代数式表示x，下列选项正确的是 （ ）
A．B．C．D．
5．如图，下列条件能判定的是（ ）

A．B．∠4＝∠5
C．D．
6．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．无理数a在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
8．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C．同旁内角互补
D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离
9．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系上有，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2025次跳动至 A2025的坐标（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．已知点M在第三象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则M点的坐标为 .
12．若是方程的解，则a的值为 ．
13．如图， ，点E在上，点F在上，如果，，那么的度数为 ．
14．已知、满足方程组，则的值为 ．
15．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ．
16．如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简： ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：
18．a的算术平方根是2，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根．
19．解方程组：
(1)
(2)
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)在将向下平移5个单位再向左平移4个单位得到，画出平移后的图像；
(2)请写出、、的坐标：______；______；______；
(3)求三角形的面积．
21．请将下列证明过程补充完整：如图，已知，，
求证：．
证明：，（已知）
（__________________）
__________（__________________）
（__________________）
（已知）
__________（__________________）
（__________________）
（__________________）
22．如图，点A，C在线段的异侧，点E，F在线段上，点H，G分别在线段上，已知．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)若，求的度数．
23．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为；乙种商品每件进价80元，售价128元．
(1)甲种商品每件进价为 元．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，
若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
24．我们知道： 关于的二元一次方程有无数个解，每个解记为点，称点为“中国结”，这些“中国结”在同一条直线上，称这条直线是所有“中国结”的“复兴线”，记作“复兴线”．特别的，我们把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”．回答下列问题：
(1)已知，则是“复兴线”的“中国结”的是____；
(2)“复兴线” （是常数且） 是否存在“超级中国结”？若存在，请求出“超级中国结”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平面直角坐标系中，，若“复兴线”与线段的交点为“奇妙中国结”，求整数a的值．
25．如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）．
(1)连接，，求的度数．
(2)若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据无理数的判断即可．
【详解】解：A. 是无理数，符合题意；
B. 是分数，是有理数，不合题意；
C. 3.1415是小数，是有理数，不合题意；
D.是整数，是有理数，不合题意；
故选A．
2．【答案】B
【分析】根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正即可确定答案．
【详解】解：点在第二象限内，
，
a的值可以是，
故选．
3．【答案】C
【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质，进行计算与判断即可．
【详解】A、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原式计算正确，故此选项符合题意；
D、，原式计算错误，故此选项不符合题意．
故选C．
4．【答案】C
【分析】根据等式的性质求解即可．
【详解】解：，
，
故选．
5．【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：．，不能判定，不符合题意；
．，根据内错角相等，两直线平行可判定，不能判定，不符合题意；
．，不能判定，不符合题意；
．，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，符合题意．
故选．
6．【答案】D
【分析】先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标．
【详解】解：建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故选D．
7．【答案】A
【分析】根据数轴特点，无理数估算的方法判定即可．
【详解】解：根据数轴特点可得，，
A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选A ．
8．【答案】B
【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；
、过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项符合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意；
、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故本选项不符合题意；
故选．
9．【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可求解．
【详解】解：，
，
∵，
，
，
，
，
，
故选C
10．【答案】A
【分析】根据题意可以发现规律，顺序数为奇数的点都在第二象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标的相反数小1，第次跳动至点的坐标是，根据规律直接求解即可．
【详解】解：如图，观察发现，第1次跳动至点的坐标是，
第3次跳动至点的坐标是，
第5次跳动至点的坐标是，
第7次跳动至点的坐标是，
……
第次跳动至点的坐标是，
则第2025次跳动至点的坐标是，即．
故选A．
11．【答案】(-3,-5)
【分析】根据到x轴(或横轴)的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴（或纵轴）的距离为横坐标的绝对值求解即可.
【详解】∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴M纵坐标为±5，横坐标为±3，
∵点M在第三象限，
∴M坐标为(-3，-5），
12．【答案】4
【分析】把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：是方程的解，
，
13．【答案】
【分析】利用平行线性质求出，根据平角定义求出，依据角的和差关系得出 ．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴ ，
∵，
∴
∴．
14．【答案】
【分析】分别计算、的值，进而计算，即可求解；
【详解】解：
将①代入②，可得：，
解得：，
将代入①，可得：；
当，时，
15．【答案】/40度
【分析】过作，交于，利用平行性质，得到．推出，，结合求出，依据以及，算出，进而得出答案．
【详解】解：过作，交于，
， 四边形是长方形，
，
，
，，
∴
∴，
∵，
∴，
，
16．【答案】
【分析】由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
∴，，
∴


．
17．【答案】
【分析】先计算算术平方根与立方根、有理数的乘方，化简绝对值，然后计算加减即可得解．
【详解】解：原式
．
18．【答案】
【分析】根据算术平方根立方根无理数的估算求出的值，再求出代数式的值，求出平方根即可．
【详解】解：由题可知：，，
∴
∴＝
即的平方根是
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）使用代入消元法求解即可；
（2）使用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①，得，
解得：，
把代入①，得，
所以这个方程组的解为：；
（2）解：，
由，得：，
解，得：,
把代入①，得，
解得，
所以这个方程组的解为．
20．【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)4
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）看图写出、、的坐标即可；
（3）利用割补法求面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：；；，
故答案为：；；；
（3）解：的面积：．
21．【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答，即可得出答案．
【详解】证明：，（已知）
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角角相等）
（已知）
（等式代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
22．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论．
（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解．
（3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得．
【详解】（1），
．
．
（2），
．
，
．
．
．
，
．
（3），
．
，
．
．
．
．
，
．
23．【答案】(1)70
(2)30件
(3)5或6件
【分析】（1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可；
（2）设该商场购进乙种商品件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可；
（3）设小华在该商场购买乙种商品件，再分两种情况讨论：①当过480元，但不超过680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲种商品的进价为元，则
．
解得．即甲种商品每件进价为 70元，
故答案是：70；
（2）设该商场购进乙种商品件，根据题意可得：
，
解得：；
答：该商场购进乙种商品30件．
（3）设小华在该商场购买乙种商品件，根据题意，得：
①当超过480元，但不超过680元时，，
解得．
②当超过680元时，，
解得．
答：小华在该商场购买乙种商品5或6件．
24．【答案】(1)A
(2)存在唯一“超级中国结”的坐标为
(3)的值为
【分析】（1）根据“中国结”的定义代入计算即可求解；
（2）根据“超级中国结”的定义进行计算，当时，可得，分类讨论即可求解；
（3）根据“奇妙中国结”的定义计算，根据题意得到轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，代入，整理得，分类讨论计算即可求解．
【详解】（1）解：，“复兴线”，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
故选A；
（2）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标相等的“中国结”称为“超级中国结”，
当时，由，消去得到：，
∴此方程的解的情况决定“超级中国结”的存在情况，
①当，即时，方程无解，不存在“超级中国结”；
②当，即时，方程有无数个解，此时存在无数个“超级中国结”，“超级中国结”的坐标可表示为（为任意实数）；
③当，即时，
得，
∴这种情况下存在唯一“超级中国结”的坐标为．
（3）解：已知“复兴线”，把横坐标与纵坐标均为整数的“中国结”称为“奇妙中国结”，
∵，即纵坐标相等，
∴轴，“奇妙中国结”的纵坐标为，
代入，整理得，
当，即时，等式不成立，舍去，
当，即时，，
∵均为整数，
∴，或，
对应的，
当时，，此时“奇妙中国结”没有在线段上，应舍去，
∴的值为．
25．【答案】(1)
(2)存在，或
(3)的值不会变化，其值为
【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可；
（2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可；
（3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解．
【详解】（1）解：过点F作，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴，
设，
，
，
解得，
当点P在y轴负半轴上时，如图，
，
，
解得，
或；
（3）解：的值不会变化，理由如下：
设，，，则，，
始终平分，
，
，
，
，即，
由（1）可知，，
，即，
，
，
，
，
所以的值不会变化，其值为．打折前一次性购物总金额
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不优惠
超过480元，但不超过680元
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