湖北省宜昌市长江中学2024-2025学年下学期七年级期中能力检测 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省宜昌市长江中学2024-2025学年下学期七年级期中能力检测 数学试卷（含解析），共29页。
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：有理数的相反数是，
故选：A．
2. 实数；；；；4；2.101001000中，其中无理数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，立方根和算术平方根，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．先化简，再根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：是整数，不是无理数；是无理数；是分数，不是无理数；
是整数，不是无理数；4是整数，不是无理数；2.101001000是小数，不是无理数；
即无理数有1个，
故选：B．
3. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补B. 内错角相等
C. 两个锐角的和是锐角D. 对顶角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据锐角的定义，对顶角的性质，平行线的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、同旁内角互补，是假命题，只有两平行直线被截所得到的同旁内角才互补，故本选项错误；
B、内错角相等，是假命题，只有两平行直线被截所得到的内错角才相等，故本选项错误；
C、两个锐角的和是锐角，是假命题，两个角的和可以是锐角、直角或钝角，故本选项错误；
D、对顶角相等，是真命题，故本选项正确．
故选：D
4. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意；
B、∵，∴，故不符合题意；
C、∵，∴，故不符合题意；
D、∵，∴，故符合题意；
故选：D．
5. 灯塔在货轮南偏东方向的30海里处，则货轮相对于灯塔的位置是（ ）
A. 北偏西，30海里处B. 西偏北，30海里处
C. 北偏西，30海里处D. 南偏东，30海里处
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方向角的定义，理解定义是本题的关键．根据方向角的定义即可得到结论．
【详解】解：由题意得，货轮相对于灯塔的位置是北偏西，30海里处，
故选：A
6. 内的任意一点，经过平移后对应点的坐标是，已知点也经过这样的平移后的对应点是，则的值为（ ）
A. 5B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，代数式求值，掌握平移的性质是解题关键．根据题意推出平移方式，进而得到，，再整体代入计算求值即可．
【详解】解：点经过平移后的对应点是，
平移方式为先向左平移2个单位长度，再想下平移6个单位长度，
内的任意一点，经过这样的平移后对应点的坐标是，
，，
，，
，
故选：C．
7. 为任意整数，则下列四组数字都不可能是的末位数字的应是（ ）
A. 3，4，9，0B. 2，3，7，8C. 4，5，6，7D. 1，5，6，9
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算0至9这10个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．
此题考查了整数的乘方，由于a为任意实数，分析出计算0至9这10个数字的平方，是解题的关键．
【详解】，，，，，，，，，，
∴1个数的平方的末位数字可以是0， 1， 4， 5， 6， 9，
∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，
∴a为任意整数，的末位数字不可能是2，3，7，8．
故选：B．
8. 如图，用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，再对无理数进行估算即可求解，掌握估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是7，
故选C．
9. 如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点（点在点的左侧），若点，表示的数分别是、，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，二次根式的计算，得出点，表示的数是解题关键．由题意可得，进而得到，从而可得，，再代入计算即可．
【详解】解：数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，
，
以为边在数轴上方作一个正方形，则，
，
以为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点，
，
若点，表示的数分别是、，
则，，
，
故选：B．
10. 如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论：
①DE，；②；③四边形的周长是27；④点到直线的距离是7.8．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平移的性质：对应边相等且平行，对应角相等，熟记平移的性质是解题的关键．由平移的性质判断①②正确；由平移得到，，求出四边形周长判断③错误；延长，交于点G，过点A作于点H，利用面积公式求出，得出的长度，由此判断④正确．
【详解】解：∵将沿直线向右平移3个单位得到，
∴，，，故①正确；
∴，故②正确；
∵将沿直线向右平移3个单位得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形的周长，故③错误；
延长，交于点G，过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B到的距离为，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故选C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．
11. 比大小：________2．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，立方根的定义，根据进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
12. 我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根的应用，理解题目中的思考过程是解题关键．仿照目中的思考过程推理即可．
【详解】解：（1）由于300763大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；
（2）由于300763的个位上的数是3，从而它的立方根个位上的数是7；
（3）如果划去300763后面的三位数763得到数300，而6的立方是216，7的立方是343，
由此立方根的十位上的数是6，所以，
故答案：．
13. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离．
设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P在第四象限，
∴，
∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
14. 如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是___个．
【答案】4
【解析】
【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．
【详解】如图，满足条件的点C共有4个．
故答案为：4．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的顶点坐标：，，，与轴交于点，则点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，点到坐标轴的距离，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据平移的性质确定点的坐标，过点作轴于点，轴于点，连接、，根据的面积求出的长，即可得到答案．
【详解】解：长方形，
可由平移得到，
，，
点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到点，
，
，即，
如图，过点作轴于点，轴于点，连接、，
，，
,，，，
，
又，
，
，
，
故答案为：
三、解答题（共9小题，共75分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程
16. 计算
（1）
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2），；
【解析】
【分析】本题考查了实数的额混合运算，利用平方根解方程，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算立方根、绝对值和平方，再计算加减法即可；
（2）利用平方根解方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，
，；
17. 已知，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，立方根和平方根，代数式求值，解题关键是掌握当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据平方和绝对值的非负性，求出，，再代入计算求出，即可得到平方根．
【详解】解：，
，，
，，
，
的平方根是．
18. 完成下面的证明．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
又∠COA＝∠BOD（① ）
∴∠C＝②
∴AC∥BD（③ ）
【答案】①对顶角相等；②；③内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】先根据对顶角相等、等量代换可得，再根据平行线的判定即可得证．
详解】证明：∵，
又（对顶角相等），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：①对顶角相等；②；③内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
19. 如图，直线、相交于点，过点作，且平分，已知．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，垂线，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据角平分线的定义和对顶角相等证明即可；
（2）由平角可得，再结合角平分线的定义得到，从而得出，再根据垂线的定义求解即可．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
20. 如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于．
（1）求证：；
（2）点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到；
（2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【小问1详解】
证明：，，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
21. 在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为，，．
（1）画出三角形；
（2）三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，直接写出点，的坐标；
（3）若点在轴上，使三角形的面积为3，则点的坐标为________；
（4）在平移过程中线段扫过的面积为________．
【答案】（1）见解析；
（2），；
（3）或；
（4）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，平移的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据点、、的坐标在平面直角坐标系中描点，再画出三角形即可；
（2根据点的平移方式，即可得到点，的坐标；
（3）设点的坐标为，则，再根据三角形的面积为3列方程求解即可；
（4）由题意可知，线段扫过的面积为四边形的面积，再利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所求作；
【小问2详解】
解：三角形中任意一点经平移后对应点为，
点的平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
三角形作同样的平移得到三角形，点、的坐标分别为，，
点的坐标为，的坐标为，
即，；
【小问3详解】
解：设点的坐标为，
，
，
三角形的面积为3，
，
，
或，
点坐标为或；
【小问4详解】
解：如图，平移后的三角形如图所示，
则线段扫过的面积为四边形的面积，
线段扫过的面积．
22. 长江中学校内有一块长方形地，已知这块地的长是宽的2倍，面积是．
（1）这块地的长________，宽________．
（2）现要在长方形地中建一个圆形花坛，花坛的面积是，试求出这个花坛的半径，并判断是否符合要求？
【答案】（1）；；
（2）这个花坛的半径为，符合要求．
【解析】
【分析】本题考查了利用平方根解方程，无理数的估算以及不等式的性质，理解题意正确列方程是解题关键．
（1）设这块地的宽是，则长是，根据长方形面积公式列方程求解即可；
（2）设这个花坛的半径为，根据圆面积公式列方程求出半径，再根据无理数的估算和不等式的性质，即可得解．
【小问1详解】
解：设这块地的宽是，则长是，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
，
即这块地的长，宽，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：设这个花坛的半径为，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
这个花坛的半径为，直径为，
，
，
，
这个花坛符合要求．
23. 根据如表，回答下列问题：
（1）想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？
（2）根据你发现的规律解答：
①已知，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______．
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米）
【答案】（1）数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位
（2）①12和13之间；②12.26；③9.02平方米
【解析】
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位；
【小问2详解】
解：①∵，
∴
∴介于整数12和13之间；
②∵
∴
故答案为：12.26；
③设正方体的棱长为米，则，
，
（平方米），
答：需要大约9.02平方米的铁皮．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，连接，．
（1）点的坐标为________；点的坐标为________．
（2）如果．且上有一动点，的最小值为________．
（3）点是直线上一动点，连接，当点在直线上运动（不与点，重合）直接写出，，之间的数量关系．
（4）点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒2个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒3个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后两点距离最短？并写出点，的坐标．
【答案】（1）；；
（2）
（3）或；
（4）秒后两点距离最短，此时点，的坐标分别为、．
【解析】
【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可；
（2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况求解：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，过点作，利用平行线的性质分别求解即可；
（4）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，
因为，点、的坐标为和，
所以，点的坐标为，即；点的坐标为，即，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：因为点、的坐标为、，
，，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
此时，
所以，即的最小值为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：或，理由如下：
①当点在线段上时，如图，过点作，
，
由平移的性质可知，，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作，
，
由平移的性质可知，，
，
，
；
【小问4详解】
解：设运动时间为秒，
由题意可知，，，
因为点、的坐标分别为、，
所以点、的坐标分别为、，
由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同，
，
解得：，即秒后两点距离最短，
此时点，的坐标分别为、．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，垂线段最短，平行线的判定和性质，平移的性质，一元一次方程的应用，动点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
0.000216
0.216
216
216000
0.06
0.6
6
60