湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．无理数即无限不循环小数，找出无限不循环小数即可得到答案．
【详解】解：为有限小数，为有理数，故选项A错误；
0为整数，为有理数，故选项B错误；
是分数，为有理数，故选项C错误；
是无限不循环小数，为无理数，故选项D正确．
故选D．
2. 在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征处理．
【详解】解：第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负；
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系与坐标，理解各象限内点坐标的符号特征是解题的关键．
3. 两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A. 同位角B. 同旁内角C. 内错角D. 对顶角
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，
可知它们构成的一对角可以看成是同位角，
故选：A．
4. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项正确，符合题意；
B、没有意义，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查平方根和立方根的性质，熟练掌握正数的平方根有2个，互为相反数，其中正的叫做算数平方根，立方根有1个，且符号与被开方数相同，是解题的关键．
5. 将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点分别落在直线上，若，则的度数为（ ）
A. 28°B. 30°C. 38°D. 62°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据∥由直线平行的性质得到，再根据，相减即可得到的度数；
【详解】解：作如下标记：
∵∥，
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，
∴，
故选：A；
【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，内错角相等），掌握直线平行的性质是解题的关键；
6. 把点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由平移方式确定点的坐标，解题的关键是根据平移方式用含m的代数式表示出平移后的坐标．由平移方式可得平移后的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0求出m的值，即可得出点B的坐标．
【详解】解：点A先向左平移3个单位长度，对应点的坐标为，
再向上平移2个单位长度得到点B的坐标为，即，
点B正好落在轴上，
，
，
点B的坐标为，即．
故选：D．
7. 下列命题中真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查真假命题的判断，平行线的含义及性质，点到直线距离，垂线的性质，解题的关键是熟练掌握几个知识点．根据平行线的含义及性质，点到直线距离，垂线的性质逐一分析判断即可.
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故③错误；
直线外一点到已知直线的垂线段长度就是点到直线的距离，故④错误；
∴真命题有1个；
故选A
8. 如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移3个单位长度，得到，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是求出点A的纵坐标．
设，利用三角形面积公式求出n的值，再求出，可得结论．
【详解】解：设，
∵，
∴，
由平移的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，四边形中，，平分交于点E，F为线段延长线上一点，且．现以下四个结论中正确的是（ ）
①；②；③④
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，先证明可判断①，再结合角平分线的性质证明，可判断②；证明，结合可判断③，进一步可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵平分交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴；故④正确
故选：D．
10. 在如图所示的平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A、B、C、D点的坐标分别为，当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了规律型中点的坐标以及矩形的性质，根据蚂蚁的运动规律找出蚂蚁每运动12个单位长度是一圈．由点、、的坐标可得出、的长度，从而可找出爬行一圈的长度，再根据即可得出当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置的坐标．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，，
从一圈的长度为．
，
当蚂蚁爬了2025个单位时，它所处位置在点下方一个单位长度处，即．
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 的相反数为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意知，的相反数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义．解题的关键在于熟练掌握：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．
12. 已知2x﹣3y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝____．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，再化y的系数为1即可解题．
【详解】解：，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 一副直角三角板（一个含有角，一个含有角）按如图所示摆放，若直线，则的度数为_______．
【答案】##15度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；
先根据平行线的性质得到，再根据三角形外角性质进行计算即可．
【详解】解：如图所示，延长一直角边交直线a于一点，
∵
∴
由三角形外角性质，可得
∴
故答案为：．
14. 若实数a、b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”的是：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可．
【详解】解：∵
∴与是关于6的“如意数”．
故答案为：．
15. 跟华罗庚学猜数：
①，又，
，能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出50653的立方根是_______；
【答案】37
【解析】
【分析】本题考查了立方根，无理数的估算及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算．
先判断它们立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
【详解】解：，，
，
能确定50653的立方根是个两位数．
∵50653的个位数是3，
又∵，
能确定50653的立方根的个位数是3．
如果划去50653后面的三位653得到数50，
而，
则，
可得，
由此能确定50653的立方根的十位数是3，
因此50653的立方根是37，
故答案为：37．
三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算乘方，求解算术平方根，立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可．
【详解】解：
；
17. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】运用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用求解二元一次方程组的方法是解答此题的关键．
18. 已知点是平面直角坐标系内一点．
（1）若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标．
（2）经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标．
【答案】（1）点A的坐标或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由点A到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可．
（2）由过点，的直线，与x轴平行，可得，再解方程，进而可得点A的坐标；
【小问1详解】
解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
当时，解得，
∴，
当时，解得，
∴，
∴点A到两坐标轴距离相等，点A的坐标或．
【小问2详解】
解：∵过点，的直线，与x轴平行，
∴，解得，
∴，
∴点A的坐标为；
19. 如图，已知．
求证：．
请完善证明过程，在括号内填写相应的理论依据．
证明：（已知）
（_______）
（等量代换）
（_______）
（_______）
（_______）
_______（_______）
（_______）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可.
【详解】证明：（已知）
（对顶角相等）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
20. 如图，平面直角坐标系中，已知点是的边上任意一点，经过平移后得到，点P的对应点为．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在图中画出；
（3）在y轴上是否存在点Q，使面积等于的面积，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）画图见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣平移变换，坐标与图形面积：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形；解答本题关键是确定平移．
（1）利用P点和的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点，，的坐标；
（2）利用点，，的坐标描点即可；
（3）先求解：的面积为：；设，可得，结合的面积等于的面积，再建立方程求解即可；
【小问1详解】
解：由点和的坐标特征可得：平移是向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，点平移后的坐标为；
∴，，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：由题意可得：的面积为：
；
设，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴，
解得：或，
∴或
21. 如图，直线、相交于点O，，垂足为，直线平分．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用；
（1）先求解，结合，即可得到答案；
（2）设，可得 ，，，结合，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，直线平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
22. 七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？
【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、．
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可.
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，，
由题意得，
解得：，
经检验， 符合题意．
答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、．
23. 课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：（1）如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，_______，，，．
运用猜想：（2）如图2，已知，请直接写出度数：_______；
拓展探究：（3）已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，若，，时，请将图形补充完整，并求度数．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）；；（2）；（3）①；②补全图形见解析，
【解析】
【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质求角即可．
【详解】解：（1），
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；；
（2）过作，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）①过作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②如图，过作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行线的传递性以及角平分线的概念，作出辅助线构造平行线导角是解决本题的关键．
24. 如图1，平面直角坐标系中，为长方形，其中点B、D坐标分别为，且a、b满足，点C在x轴的正半轴上，且，连接．
（1）求A、C两点坐标；
（2）若一动点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿向D点运动．
①如图2，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图3，当点P运动到上时，点P到x轴、y轴的距离分别为，若在线段上存在无数个点P，使（k为常数），求k的值．
【答案】（1），
（2）①存在，或；②
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及算术平方根的非负性，解一元一次方程，三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据算术平方根的平方的非负性求出，继而得到点坐标，再根据长方形的性质求解即可；
（2）①分两种情况讨论，用的代数式表示出图形的面积，再建立方程求解；
②连接，利用面积法得到，化简得到，则当点在线段上的任何位置时，均有成立，那么若在线段上存在无数个点P，使（k为常数）时，．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵为长方形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①存在，理由如下：
四边形的面积为：，
当点在上时，
∵三角形面积等于四边形面积的，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当点在上时，如图：
∵三角形的面积等于四边形面积的，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：或；
②连接，
由题意得，，
∴，
∴，
∴当点在线段上的任何位置时，均有成立，
那么若在线段上存在无数个点P，使（k为常数）时，．
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：