河北省唐山市友谊中学2024-2025学年下学期期中考试七年级 数学试卷（含解析）

这是一份河北省唐山市友谊中学2024-2025学年下学期期中考试七年级 数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了答案请用黑色钢笔或签字笔填写， 若， 下列是关于方程组的两种解法， 下列命题中，是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟.
2.答题前请将装订线左侧的项目填写清楚.
3.答案请用黑色钢笔或签字笔填写.
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算得，则“”表示的运算符号为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，先分别计算这两个单项式的和差积与商，然后根据计算结果进行判断即可．解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则和合并同类项法则．
【详解】解：∵，
∴“”内应填的运算符号为：．
故选：C．
2. 如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移运动和旋转运动，掌握平移和旋转的不变性是解题的关键．
根据平移和旋转的不变性即可求解．
【详解】解：补全图中长方形如图：
则图中空白部分图形的形状和大小与B中的图形一模一样，故B中图形经过旋转和平移能落入空白部分，
故选：B．
3. 已知二元一次方程组的解为则另一个被“*”遮盖的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
把代入选项的方程进行检验即可．
【详解】解：A.将代入，故该选项不符合题意；
B.将代入，故该选项不符合题意；
C. 将代入，故该选项不符合题意；
D. 将代入，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（ ）
A. 垂线段最短
B. 垂直的定义
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键．
根据垂线段最短进行判断即可．
【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，
故选：A．
5. 若（，为正整数），下列判断正确的是（ ）
A. 一定为偶数B. 一定为偶数
C. ，一定都为奇数D. ，一定都为偶数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方运算，熟记运算法则是解题关键．
根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴一定为偶数，
故选：B．
6. 下列是关于方程组的两种解法：
方法一：由①②可消去．
方法二：由①②可消去．
下列判断正确的是（ ）
A. 方法一对，方法二不对B. 方法一不对，方法二对
C. 方法一对，方法二也对D. 方法一不对，方法二也不对
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法， 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
根据加减消元法解二元一次方程组的方法分别判断题干中方法一和方法二，即可解答．
【详解】解：方法一：由①得，，
②得，，
故由①②可消去；
方法二：由①得，，
②得，，
由①②不可消去，
因此方法一对，方法二不对，
故选：A．
7. 如图，给出下列条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
根据平行线的判定定理依次判断各选项即可．
【详解】A、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意；
B、，则（内错角相等，两直线平行），故不符合题意；
C、，不能证明，故符合题意；
D、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意；
故选：C．
8. 下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（ ）
A. 步骤一B. 步骤二C. 步骤三D. 步骤四
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定．
【详解】解： 步骤三中去分母应为：，
原解法中，去分母，等号右边漏乘2，
故选：C．
9. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同位角相等
B. 相等的角是对顶角
C. 互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是命题真假的判断，平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义理解，熟记基本概念与平行线的性质是解本题的关键．
分别根据平行线的性质对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，不符合题意；
C、互补的两个角可以都是直角，原说法错误，是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
10. 按如图方式折叠一张长方形纸条，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
根据长方形的性质可求的度数，再利用翻折的性质和平角定义即可求出答案．
【详解】解：
如图所示，根据长方形的纸条可知，对边平行，
根据翻折的性质可得，
，
故选：D．
11. 已知，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握是解题的关键．
根据题意可得，再变形为，再由同底数幂的乘法即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故选：B．
12. 已知题目：“直线，直线，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接，过点D作，交直线l于点E．若，求的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）

A. 淇淇说得对，且的另一个值是
B. 淇淇说的不对，就得
C. 嘉嘉求的结果不对，应得
D. 两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是画出对应的图形．
根据题意分别画出对应的两种图形根据平行线的性质解答即可；
【详解】根据嘉嘉画出的图形，

，
∴，
∵，
，
，
当点D在如图所示位置时，

，
，
∵，
∴，
．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
13. 在如图所示各角中，与是内错角的是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了内错角，熟练掌握内错角的定义是解题的关键：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
根据内错角的定义即可求解．
【详解】解：与是内错角的是，
故答案为：．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
15. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证________°．
【答案】110
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数．
【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，
依题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：110．
16. 某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为______时，商店才正好不亏本．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等量关系并列出方程组是解题的关键．
根据题意列方程组求出第一次和第二次分别购进的数量，再根据利润=销售总收入-进货总成本，即可求出恰好不亏本时的值．
【详解】解：设第一次购进a箱，第二次购进箱，根据题意得：
，
解得：，
∴第一次购进箱，第二次购进箱，
∵箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，且商店正好不亏本，
∴，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知关于，的方程组
（1）求该方程组的解；
（2）利用（1）求得的结果，计算的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握加减消元法和负整数指数幂的运算法则．
（1）得，再利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用负整数指数幂的运算法则进行求解即可．
【小问1详解】
解：
得，
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原二元一次方程组的解为；
【小问2详解】
解：将代入得，
，
∴的值为．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握计算公式是解题的关键．
（1）先处理符号，再由同底数幂的除法计算；
（2）分别计算同底数幂乘法，幂的、积的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形边长为1，顶点叫做格点，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，画出平移后的图形．点A、B、C平移后的对应点分别是；
（2）平移扫过面积是______；
（3）在图（2）中，过点C画出的平行线l，则在此网格内l上有______个格点（C点除外）．
【答案】（1）见解析 （2）9
（3）2
【解析】
【分析】本题考查平移的性质．
（1）根据平移的规则，画出即可；
（2）分割法求平移扫过的面积即可；
（3）根据题意，画出直线，确定l上的格点个数即可；
熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
由题意，平移扫过的面积为：；
故答案为：9；
【小问3详解】
如图所示，直线l即为所求，
由图可知，直线上除了格点有2个格点；
故答案为：2．
20. 已知，．
（1）求代数式的值；
（2）若，写出，，之间的关系式并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘除法，幂的乘方逆运算，解题的关键是掌握运算法则的正用和逆用．
（1）根据已知条件，利用同底数幂的除法以及幂的乘方法则变形，即可求解；
（2）根据得到，利用幂的乘方法则变形，可得，从而得到．
【小问1详解】
解：∵，
；
【小问2详解】
解：关系：，
∵，，
∴，
∴，
∴．
21. 情境 珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：
尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下.
请将下面解题过程补充完整．
解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______；
应用 （2）利用上述方法解方程组
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得．
22. 已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图1），点是六个区域中的任意一点（不在直线，，上），连接，.
（1）图2是点在区域⑤的情况，探究，，之间的数量关系时，嘉嘉猜想出，请帮她完善说理过程（填写结论或依据）；
（2）图3是点在区域②的情况，请判断（1）中的结论还成立吗？说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）不成立，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，数形结合思想的应用，解题时要注意添加辅助线，构造平行．
（1）过点作，根据平行线的性质得到，，再根据角的和差可得；
（2）过点作，同理可得：，即可判断；
【小问1详解】
解：过点作
（两直线平行，内错角相等），
，
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
又，
.
【小问2详解】
解：不成立，证明：如图，过点作，

，
，，
，
，
．
又，即．
故（1）中的结论不成立．
23. 已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨
（2）有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆
（3）最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元
【解析】
【分析】（1）根据“用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨”“用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）由题意理解出：3a+4b＝35，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；
（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，分别求出租车费用即可．
【小问1详解】
解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
【小问2详解】
结合题意和（1）得：3a+4b＝35，
∴a＝
∵a、b都是正整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
【小问3详解】
∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280(元)
方案二需租金：5×200+5×240＝2200(元)
方案三需租金：1×200+8×240＝2120(元)
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找出题中的数量关系，正确列出方程或方程组．
24. 如图1、图2，直线，被射线所截，且，是射线上的定点，点在射线上，连接，过点作，与直线交于点，且．
（1）如图1，当点与点重合时，求的度数；
（2）若点在线段上（点不与点，重合）．
①依题意，在图2中补全图形；
②猜想与之间的数量关系，并证明；
（3）当点在线段的延长线上，且时，求的度数．
【答案】（1）
（2）①答案见解答过程；②，证明见解答过程
（3）或
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．
（1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案；
（2）①依题意补全图形即可；
②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系；
（3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数．
【小问1详解】
解：，
，
又，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①依题意补全图形如图2所示：
②与之间的数量关系是：．
证明如下：过点作，如图3所示：
，
，
，，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：
①当在点的右侧时，过点作，如图4所示：
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示：
，
，
，
，
同理：，，
，
．
综上所述：的度数为或．
解：
由①得③；步骤一
把③代入②得；步骤二
去分母得；步骤三
解得，再由③得.步骤四
理由：过点作
（ ），
，
（ ），
______（ ），
______，
又，
.