安徽省宿城第一初级中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份安徽省宿城第一初级中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若，则“□”内应填的运算符号为（ ）
A. +B. ﹣C. ×D. ÷
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式有关计算，根据合并同类项法则与单项式与单项式相乘，单项式与单项式相除法则，先分别计算这两个单项式的和差积商，然后根据计算结果进行判断即可．
【详解】解：，，，，
“□”内应填的运算符号为：÷，
故选：D．
2. 空中飘雪前往往先下霰，霰是一种球形小冰晶，其半径到毫米，毫米米．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，为整数”是解题的关键．
【详解】解：，
故选A．
3. 在下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件，随机事件的概念是关键．
必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；由此即可求解．
【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
故选：C ．
4. 将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出．
【详解】解：如图，∵

∴，
∵在三角板中，，
∴．
故选：B
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握乘法公式特征是解题的关键．
根据平方差公式、完全平方公式逐个计算判断即可解答．
【详解】解：A：，故选项A错误，不符合题意；
B：，故选项B错误，不符合题意；
C：，故选项C正确，符合题意；
D：，故选项D错误，不符合题意．
故选C．
6. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A. 试验次数越多，f越大
B. f与P都可能发生变化
C. 试验次数越多，f越接近于P
D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率的稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
7. 如图，下列选项中，不能得到的是（ ）

A. ，B. ，
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，A选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，B选项不符合题意；
∵
∴，C选项符合题意；
∵
∴，D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
8. 如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相同的两部分成为解题的关键．
根据是的中线得，同理可得，然后根据，据此即可解答．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵是上的一点，
∴，
∴．
故选C．
9. 如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：正方形的边长为，，，
，
两个阴影部分都正方形且面积和为60，
重叠部分的面积为
故选A．
10. 仔细观察，探索规律：
．．．．．．
则的个位数字是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数字规律，理解材料找出规律是关键．
根据材料提示得到所求代数式的规律，根据乘方运算即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴的个位数为，
∴，
∴则的个位数字是3，
故选：B ．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 已知，那么___________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．根据同底数幂乘法运算，幂的乘方运算的逆运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：12 ．
12. 在一个暗箱里放有x个除颜色外其他完全相同的球，这x个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出x大约是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，×100%＝25%，
解得，x＝12个．
估计x大约有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13. ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．
根据积的乘方的逆运算法则计算即可．
【详解】解：
．
14. 已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，根据一个角的余角是这个角的两倍，列出方程，解方程求出这个角的度数，再根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为，
∴这个角的补角是，
故答案为：．
15. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
．
故答案为：．
16. 数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题：
（1）填空：______；
（2）若，，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键．
（）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可；
（）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可．
【详解】解：（）∵，
∴，
故答案为：
（）∵，，
∴（负值舍去），，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算、实数的混合运算、负整数次幂、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用积的乘方、幂的乘方化简，然后再按幂的混合运算法则计算即可；
（2）先运用乘方、绝对值、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可；
（3）先将原式写成平方差公式的形式计算，然后再按照完全平方公式计算即可．
（4）按照整式的四则混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：
．
【小问4详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
19. 如图，已知，，试说明：．
（1）请将下面的说理过程补充完整；
解：∵（已知），
∴（________）．
∵（已知）
∴________（同角的补角相等），
∴（________），
∴（________）．
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可．
（2）根据角的平分线的定义，平行线的性质，垂直的意义，余角的定义解答即可．
【小问1详解】
解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知）
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；
内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【小问2详解】
解：∵，平分，
∴．
由（1）知，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线定义，余角的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20. 如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成等份，每个扇形区域内分别标有这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．
请回答下列问题：
（1）随机转动转盘，转出数字是______事件，转出数字是______事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空）
（2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是______；
（3）现有两张分别写有和卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由．
【答案】（1）不可能，随机；
（2）；
（3），见解析．
【解析】
【分析】（）根据“不可能事件”“随机事件”“必然事件”的意义进行判断即可；
（）转动转盘一次，共有种等可能出现的结果情况，其中转出的数字是奇数的有种，根据概率公式即可求解；
（）转动转盘可得到这六个数字中的一个，与卡片中的两个数字作为三条线段的长度，共有种等可能的情况，其中能构成三角形的有种，根据概率公式即可求解；
本题考查了随机事件，概率的计算，三角形三边关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
∵转盘被平均分成等份，分别标有这六个数字，没有数字，
∴“转出数字”是不可能的，转出数字是可能的，
故答案为：不可能事件，随机事件；
【小问2详解】
转动转盘一次，共有种等可能出现的结果情况，其中转出的数字是奇数的有种，
∴转出的数字是奇数的概率是，
故答案为：；
【小问3详解】
这三条线段能构成三角形的概率是，理由如下：
设转出的数字是，则共有种等可能的结果，
∵能构成三角形，
∴，
∴转盘中符合结果数为种，
∴这三条线段能构成三角形的概率是．
21. 综合与实践
数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.
（）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张；
（）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________；
（）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积．
【答案】（）；（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解；
（）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解；
（）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解；
本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张，
故答案为：；
（）∵图大正方形的面积等于部分面积之和，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，，，
∴，
∴，
∴，
即直角三角形的面积为．
22. 如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的度数．

【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案．
根据角平分线性质，由，得到，然后得到，由余角的性质，即可求出答案．
【详解】解：，分别是和的角平分线，
，．
，
，
．
是边上的高
，
．
23. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（2）【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数；
（3）【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图：过E作，结合，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图：延长交于点G，利用平行线性质、三角形外角性质、角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可．
（3）如图：延长交于点M，然后利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
如图：过E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图：延长交于点G，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于点，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图：延长交于点M，
∵，
∴，
∵分与的平分线相交于点，
∴，，
设，的交点为N，
∵，且，，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形外角性质、对等角相等、四边形内角和定理、角的平分线等知识点，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题的关键．