江西省赣州市十八县（市、区）二十四校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份江西省赣州市十八县（市、区）二十四校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则A，B两点间的距离为（ ）
A. B. C. 12D. 24
【答案】B
【解析】因为，所以，
故选：B
2. 若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，
即．
故选：A．
3. 若双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行，则的标准方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】的焦点在轴上，设的标准方程为，
则，，解得，．所以的标准方程为．
故选:C．
4. 已知在复平面内对应的点的坐标为，则，满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
消去得．
故选：C．
5. 若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】由题意，两圆半径相等，所以，解得，
故选：A.
6. 如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（ ）

A. 8B. 4C. －8D. －4
【答案】B
【解析】∵，
∴．
故选：B．
7. 已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，由，得，，所以，
可得，所以直线的斜率为，
当原点到的距离最大时，，的斜率为，
所以的方程为，即．
故选：D．
8. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
则表示圆弧上的点与点连线的斜率，
当过点的直线与圆弧相切时斜率最大，如图，
此时，，可得，
所以，
所以，
即斜率最大值为，
根据斜率变化关系可得的值域为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确；若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知复数，且为纯虚数，则（ ）
A.
B.
C. 若复数满足，则的最大值为
D. ，是方程的两个复数根
【答案】BD
【解析】因为，所以，为纯虚数，所以，
因为，所以，得，
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
因为，所以，所以，，D选项正确.
故选：BD.
11. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ）
A. PQ的最大值为
B. 若为的中点，则的离心率的最大值为
C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切
D. 若点2,1在上，则的蒙日圆面积最小为
【答案】AD
【解析】对于A，因为圆的圆心为O0,0，半径为，
又椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，所以，
所以，故A正确；
对于B，若为的中点，则，
则，故，B错误；
对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误；
对于D，因为点2,1在上，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的蒙日圆面积最小为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】抛物线的标准方程为，所以其准线方程为．
13. 已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________．
【答案】4
【解析】易知双曲线的右顶点坐标为，
且双曲线绕点逆时针旋转得曲线，
又曲线的其中一个顶点坐标为，所以，
解得．
14. 过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
令得，令得，
则，
由题意关于的方程有四个不同的实数解，，
所以有两个不等实根且有两个不等实根，
，解得或．
又，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知曲线经过点．
（1）若经过点，求的离心率；
（2）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
解：（1）因为点在上，所以，，
因为经过点，所以，，
代入得，
所以的标准方程为，
，，，
所以的离心率．
（2）的方程可化为，
因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，即，
因为，所以，
解得，所以的取值范围是．
16. 已知点及圆．
（1）若直线经过点，，求的方程；
（2）若直线过点且截圆所得的弦长为6，求的方程．
解：（1）由题意得，，
所以的斜率，
所以的方程为，即．
（2）圆的标准方程为，
圆心，半径，
因为擮圆所得弦长为6，
所以点到的距离为，
当的斜率不存在时，的方程为，符合题意，
当的斜率存在时，设的方程为，即，
所以，解得，的方程为，
所以的方程为或．
17. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点，且右焦点为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于点，，点关于轴的对称点为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）由椭圆经过点，且右焦点为，可得，
解得，，故方程为．
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，则，
将与联立得，
，
，，
所以，，，
直线方程为，
即，即，
整理得，
所以直线过定点．
18. 已知抛物线的焦点为．过的直线与交于，两点，．
（1）求的值；
（2）求直线与的公共点个数；
（3）证明：．
（1）解：设直线的方程为，
与联立得，
所以．
（2）解：直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
与联立得，解得，
所以直线与只有1个公共点．
（3）证明：由（1）知，，
所以
，
所以．
19. 若集合A表示由满足一定条件全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆.
（1）若圆是集合的包络圆.
（i）求a，b满足的关系式;
（ii）若，求的取值范围;
（2）若集合的包络圆为C，P是上任意一点，判断轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）（i）因为圆是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为2，
即，化简得，
即a，b满足的关系式为.
（ii）由及，
可得圆与直线有公共点，
所以，解得，
故的取值范围是．
（2）设，
由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，
即为与无关的定值，
所以，．故，此时，．
所以的方程为，
设，则，即，
假设轴上存在定点，，使得，设，，
则，
所以解得或
所以，或，．