上海市崇明区2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份上海市崇明区2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（解析版）
【解析】因为集合，
所以，
故答案为：
2. 不等式的解为__________．
【答案】
【解析】不等式的解即为，
故原不等式的解为，
故答案为：
3. 若复数满足其中为虚数单位，则_____.
【答案】
【解析】，则
所以，，
，
故答案为：
【点睛】根据复数相等求复数，解决的关键是实虚部分别相等求解；基础题.
4. 的二项展开式中的系数为__________．
【答案】35
【解析】二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以二项展开式中的系数为.
故答案为：
5. 双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】由双曲线，可得，
所以双曲线的焦点在轴上的渐近线方程为：.
故答案为：.
6. 已知为正实数，且满足，则的最大值是______．
【答案】100
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最大值为.
故答案为：
7. 已知，如果，那么实数的值为______.
【答案】4
【解析】由题意得，则.
故答案为：4.
8. 已知，关于的方程的解___________．
【答案】
【解析】等价于或，
故，
故答案为：
9. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
点关于平面的对称点的坐标为，
故答案为：.
10. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么_____.
【答案】或
【解析】当时，将数据进行排列，得到，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，解得，
当时，将数据进行排列，得到，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，
解得，与范围不符，故排除
当时，将数据进行排列，得到，
因为这组数据的中位数和平均数相等，所以，
解得，经检验，和均符合题意.
故答案为：或.
11. 已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当时，，
因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，
所以，故，
故答案为：
12. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________．
【答案】
【解析】若函数的定义域为，值域为，
则不同的函数的个数为，
其中增函数共有3个：
（1）；
（2）；
（3）；
故所求概率为，
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
13. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数，
又是严格增函数，正确；
对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误；
对于C，的定义域为，不关于原点对称，
所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误；
对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数，
但为周期函数，不是定义域R上严格增函数，错误.
故选：A
14. 已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（ ）．
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据直线与平面垂直的判定定理可知：
如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.
而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交，
所以不一定能推出直线与平面垂直，
但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，
即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件为互斥事件B. 事件与事件为互斥事件
C. 事件与事件相互独立D. 事件与事件相互独立
【答案】D
【解析】A选项，事件包含的情况有，
事件：至少有一颗点数为6包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，A错误；
B选项，事件包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，B错误；
C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况，
故，
事件包含的情况为，故，
故，故事件与事件不相互独立，C错误；
D选项，事件包含的情况有
，
，共18种情况，
故，
事件包含的情况有：，
故，
因为，所以事件与事件相互独立，D正确.
故选：D
16. 已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ）
A. ①与②都是真命题；B. ①为真命题，②为假命题；
C. ①为假命题，②为真命题；D. ①与②都是假命题．
【答案】A
【解析】对于①：因为数列、均为等差数列，
设，则，
若，可知当时，恒成立，不满足交错数列；
若，可知的符号不变，不满足交错数列；
若，可知当时，恒成立，不满足交错数列；
综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确；
对于②：因为数列为等比数列，设，等比数列的公比为
不妨假设，，此时等比数列的公比为
当为奇数，则；
当为偶数，则；
满足是的交错数列，
若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立，
同理若，，此时等比数列的公比为
当为奇数，则；
当为偶数，则；
满足是的交错数列，
若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立，
综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确；
故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
（1）证明：取中点，连接，则，，
又，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）解 ：由（1）点是中点，连接，
因为平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，所以，
所以，，，
所以，，
所以为等腰三角形，则，且，
所以，
设点到平面的距离为，由得，
所以，所以，即点到平面距离为.
18. 在中，已知点D是BC边上一点，且，.
（1）若，且，求AD的长；
（2）若，，求AD的长（结果精确到0.01）.
解：（1）因为，所以，，
又，所以
即，解得.
（2）在中，，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得
.
19. 王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）王老师将测试成绩在和内试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率；
（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．
解：（1）由题意得，解得
所以平均数等于
（2）由题意，内有8人，内有2人，
所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为.
（3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，
由题意，第二组、第四组分别有10人和8人，
所以成绩在第二组、第四组的平均数
成绩在第二组、第四组的方差
故估计成绩在第二组、第四组的方差是.
20. 已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点．
（1）若直线平行于轴，求线段AB的长；
（2）若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程；
（3）已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意，、，所以直线的方程是，
代入中，得，所以
（2）设，则
所以，
又，所以所以点坐标是或，
所以直线的方程是或.
（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入中，得，此时，
设、、，
则，所以中点.
又的重心在轴上，所以，
即，故，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为点在椭圆上，所以，解得或
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶点，满足题意．
综上所述，存在直线l使得的重心在轴上，
其方程为：或或.
21. 定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”.
（1）已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值；
（2）设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值；
（3）定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
解：（1），所以曲线在点处的切线方程为，
即，
因为圆与曲线在点处“一线切”，
所以直线与圆在点处相切，
所以，所以.
（2）设，，
由题意，，所以，
解得.
（3）假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，
则有，从而，显然，
于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件