上海市静安区2025届高三下学期期中教学质量调研（高考二模）数学试卷（解析版）

这是一份上海市静安区2025届高三下学期期中教学质量调研（高考二模）数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题第13题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1. 已知全集为，集合，则______．
【答案】或
【解析】因集合，
所以或.
故答案为：或.
2. 不等式的解集为_____________．
【答案】.
【解析】由得：，解得：，
不等式的解集为.
故答案为：.
3. 椭圆的离心率是______．
【答案】
【解析】在椭圆中，，，，
因此，椭圆的离心率是.
故答案为：.
4. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．
【答案】
【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，
故答案为．
5. 已知，则______．（请用含的代数式表达）
【答案】
【解析】由题意得，.
故答案为：.
6. 已知，则sin2x的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】∵，，
则sin2x＝，
故答案为：.
7. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______．
【答案】
【解析】第一次没有摸到黑球，则还剩下一个黑球，一个不是黑球，共两个球，
所以.
故答案为：.
8. 设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3点达到最大值18米，之后持续减少，并在上午9点达到最小值14米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为______．
【答案】
【解析】由题意可知，解得，
，所以，所以，
所以，
又当时，函数取得最大值，
所以，所以，所以，
所以.
故答案为：.
9. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若要使该容器的容积最大，则容器的高为______m．
【答案】
【解析】设底面短边长为，
则长边长为，高为，
则，解得，
则容器的容积，，
则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以要使该容器的容积最大，则容器的高为.
故答案为：.
10. 已知，且，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】因为，，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
11. 从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
即，整理得，
因为，所以，即，
所以，又因为都是正整数，
所以，
当时，此时，
所以（舍去），
当时，此时，
所以，
综上所述，，
所以.
故答案为：.
12. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意可得两点关于折线对称，连结，
设，
则，，．
中，．
在中，，
由正弦定理知：，即，
所以．
因为，即，
当，即时，，
此时取得最小值，且．
所以的最小值为．
故答案为：.
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13. “”是“一元二次不等式的解集为R”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题根据一元二次不等式的解集为R，
可得，
所以“”是“一元二次不等式的解集为R”的必要不充分条件.
故选：B.
14. 若复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，则（ ）
A. 且B. 且C. 且D. 且
【答案】D
【解析】，
因为复数（a、，是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限，
所以，解得.
故选：D.
15. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）.
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】C
【解析】易知，有三个零点
因为为二次函数，所以，它有两个零点
由图像易知，当时，；
当时，，故是极小值
类似地可知，是极大值.
故答案为C
16. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 以上答案均不对
【答案】A
【解析】由，可得，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以．
故选：A.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知向量、，记．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值．
解：（1），
所以函数的最小正周期；
（2），
因为函数为奇函数，
所以，解得，
又因为，所以.
18. 某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；
（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.
解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为
．
据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为．
（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为、、、、、，
所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情形．其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的有，，，，，，，，，，共10种所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于的概率为．考
19. 如图，在正三棱柱中，，延长CB至D，使，是线段的中点．
（1）求证：
①直线平面；
②；
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：①在正三棱柱中，，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，面，
所以平面；
②因为，是线段的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，
又平面，所以平面，
又平面，
所以；
（2）解：在中，由于，所以，
则，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
因为轴垂直平面，
则可取平面的法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为．
20. 如图，在直角坐标平面xOy中，中（）为正三角形，且满足，．
（1）求点的横坐标关于正整数n的表达式；
（2）求证：点，，…，…在抛物线：上；
（3）过（2）中抛物线：的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值．
（1）解：由，
可得；
（2）证明：设点的坐标为，
则，即，
所以，
所以点，，，在抛物线上；
（3）解：抛物线的焦点为，
互相垂直的弦和显然都不垂直坐标轴，
设直线的方程为，
代入，得，
则有，
所以，
将上式中的用代换，得，
于是
当且仅当，即时，取等号，
所以四边形面积的最小值为18．
21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线．
（1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明）
（2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，所以，
令，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
综上所述，，
所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可）
（2）证明：由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因，所以，
因为，所以，
综上所述，
所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条；
（3）解：若存在，则恒成立，
令，则，所以，
因此，恒成立，即恒成立，
由得，，
现在只要判断是否恒成立，
设，则，
当时，，，，
当时，，，
所以，即恒成立
所以函数和函数在上存在分界线，
其方程为．
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
44
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1