上海市嘉定区2025届高三下学期第二次质量调研数学试卷（解析版）

这是一份上海市嘉定区2025届高三下学期第二次质量调研数学试卷（解析版），共14页。
【答案】
【解析】.
故答案为：.
2. 不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由分式不等式的解法得原不等式等价于，
解不等式得.
故不等式的解集为.
故答案为：
3. 已知向量，若，则______．
【答案】8
【解析】由题设.
故答案为：8
4. 已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______．
【答案】
【解析】依题意，，即，
所以.
故答案为：
5. 在二项展开式中，常数项的值为______．
【答案】60
【解析】二项式的展开式的通项公式为：
，
令，解得，
所以二项式的展开式中的常数项为.
故答案为：60.
6. 已知，若，则______．
【答案】
【解析】由，
所以，则.
故答案为：
7. 直线与圆相交所得的弦长为______．
【答案】
【解析】由，即，
所以圆心，半径为，
所以到的距离，
综上，直线与圆的相交弦长为.
故答案为：
8. 已知复数满足，则的值为______．
【答案】
【解析】设对应的复数为，对应的复数为，
则对应的复数为，对应的复数为，
因为，
由平行四边形的性质可得：
所以
故答案为：
9. 在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为______.
【答案】
【解析】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个，
其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共，
故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为.
故答案为：.
10. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：）
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为：
11. 某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）．
【答案】
【解析】若球的半径为，则，可得，又，
对于正四棱锥，设底面边长为，高为，
则，所以，即，
又，则，故，即，
纪念碑体积，令，
对于，则在上单调递减，
当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递减，
所以，故，此时米.
故答案为：
12. 在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______.
【答案】
【解析】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，，
∴，
∴，；
，；
，；
，.
故.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A选项，幂函数在上单调递增，
由于，所以，A选项不等式恒成立.
B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立.
C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立.
D选项，指数函数在上单调递增，
由于，所以，D选项不等式恒成立.
故选：B
14. 已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 若，则 B. 若与为异面直线，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，直线，直线，若，则或平面、平面相交，故A错误.
对于B，直线，直线，若与为异面直线，则或平面、平面相交，故B错误.
对于C，直线，直线，若，则或平面、平面相交，故C错误.
对于D，直线，直线，若，则.
故选：D
15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】由题设，显然，
当，则，此时，
当，则，此时，
所以，整数解有，共5个整数解.
故选：C
16. 设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（ ）
A. 数列和数列均不是周期数列
B. 数列是周期数列，数列不是周期数列
C. 数列不是周期数列，数列是周期数列
D. 数列和数列均为周期数列
【答案】B
【解析】令，则数列的一个周期为6，
又，
则，
令，则数列的一个周期为8，
又，
则，
所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24，
又，，
所以，故，所以不是周期数列.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，．
（1）若AD平面PBC，证明：；
（2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积．
（1）证明：由题设，则，
由PA⊥平面，平面，则，
而都在面内，则面，
由AD平面PBC，面，面面，
所以，则面，面，故.
（2）解：由PA⊥平面，平面，则，
由（1）知，且面，面，则，
所以都是直角三角形，且，
根据题设定义，为一个鳖臑，体积，
表面积.
18. 已知函数，其中，a，b为实常数且．
（1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值；
（2）若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围．
解：（1）由题设，
所以恒成立，则，又，
所以的最小值为4，显然，
又，当且仅当时取等号，则，即，
所以，经检验满足题设，故；
（2）由题设，即在R上恒成立，
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，故.
19. 某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图．
（1）估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）概率；
（3）已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%）
解：（1）由直方图知，平均课外阅读时间：
小时/月；
（2）由直方图知，时间位于区间的频率为，
所以该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率为.
（3）由题设，初一年级学生中喜欢阅读的学生占比为，
所以其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为，
故其他年级学生中喜欢阅读的比例.
20. 已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点．
（1）求的最小值；
（2）当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围．
解：（1）由椭圆方程知，，所以右焦点，
设，则，由代入得：
，
由于，对称轴，
所以，
即的最小值为，此时点为椭圆的右顶点.
（2）由直线的斜率为1且经过，可得直线方程，
与椭圆联立方程组，消元得：，
解得，则代入得：，所以，
则，
设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得：
，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为，
即，解得，
根据数形结合可得时，满足切点取到面积最大值，
此时方程为，
代入直线得，则，
由点到直线的距离公式得：
，
所以面积的最大值为，
此时点；
（3）设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得：
，
由，
再由于交点D不在x轴上，即，
设交点，则有，
代入得：，
由于Q关于原点的对称点为点R，所以，
则直线方程为，与直线相交得：
点纵坐标为，
而直线与直线相交得：
点纵坐标为，
所以可得
当且仅当，即时，取到最小值.
即的取值范围是
21. 已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点．
（1）当时，判断点是否为平衡点；
（2）当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点；
（3）求所有实数a和b，使得点是平衡点．
解：（1）由题设，而，
当，则，即，故，
所以点平衡点；
（2）由题设，若是平衡点，则，即，
此时恒成立，则；
（3）由题意，对于，都有，
当，即时，在上单调递增，则，
所以，易知，显然不满足前提；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，故，则，
所以时，；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，故，则，
所以时，；
当，即时，在上单调递减，则，
所以，易知，显然不满足前提；
综上，时，；时，.