2025年中考数学总复习课件(山东省专用)08 第一部分 第二章 第二节 一元二次方程及其应用

这是一份2025年中考数学总复习课件(山东省专用)08 第一部分 第二章 第二节 一元二次方程及其应用，共60页。PPT课件主要包含了ax2＋bx＋c＝0，b2－4ac，两个不相等，两个相等，a＞－4等内容，欢迎下载使用。
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考点一　一元二次方程的有关定义1．定义：只含有__个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：______________(a，b，c为常数，a≠0)．
考点二　一元二次方程的解法
考点三　一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式：Δ＝_________，注意隐含条件a≠0．当Δ＞0时⇔方程有__________的实数根；当Δ＝0时⇔方程有________的实数根；当Δ0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．]
4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是(　　)A．7B．－7C．3D．－3
D　[∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，则原式＝－5＋2＝－3．故选D．]
考点突破 对点演练
命题点1　一元二次方程及其解法【典例1】　(2024·安徽)解方程：x2－2x＝3．
[解]　法一：x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1．法二：x2－2x＝3，x2－2x＋12＝3＋12，∴(x－1)2＝4，∴x－1＝2或x－1＝－2，∴x1＝3，x2＝－1．
归纳总结　灵活选择方法解一元二次方程的口诀方程没有一次项，直接开方最理想．如果缺少常数项，因式分解没商量．b，c相等都为零，等根是零不要忘．b，c同时不为零，因式分解或配方．也可直接套公式，因题而异择良方．
A　[∵x2－8x－5＝0，∴x2－8x＝5，则x2－8x＋16＝5＋16，即(x－4)2＝21，∴a＝－4，b＝21．故选A．]
[对点演练]1．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(　　)A．－4，21B．－4，11　C．4，21D．－8，69
2．用适当的方法解下列方程：(1)x2－2x＝0；(2)2x2－3x－1＝0．
命题点2　一元二次方程根的判别式【典例2】　(2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为____________．
易错警示　用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．
B　[A．(x－2)2＝－1化简为x2－4x＋5＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝5，∴Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，此方程没有实数根，不符合题意；
[对点演练]1．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是(　　)A．(x－2)2＝－1B．(x－2)2＝0　C．(x－2)2＝1D．(x－2)2＝2
B．(x－2)2＝0，化简为x2－4x＋4＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝4，∴Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，∴此方程有两个相等的实数根，符合题意；C．(x－2)2＝1，化简为x2－4x＋3＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝3，∴Δ＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D．方程(x－2)2＝2，化简为x2－4x＋2＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝2，∴Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选B．]
a＞－4　[根据题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(－a)＞0，解得a＞－4．]
【教师备选资源】(2023·泰安)已知关于x的一元二次方程x2－4x－a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
[对点演练]1．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________．
7　[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，∴m2－5m＝－2，n＝5－m，∴m＋(n－2)2＝m＋(3－m)2＝m2－5m＋9＝－2＋9＝7．]
命题点4　一元二次方程的应用【典例4】　如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
[解]　(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．根据题意，得x(72－2x)＝640，化简，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能，理由如下：由题意，得x(72－2x)＝650，化简，得x2－36x＋325＝0，Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650 m2．
温馨提示　因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．
[对点演练]1．[数学文化](2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　)A．3(x－1)x＝6 210B．3(x－1)＝6 210C．(3x－1)x＝6 210D．3x＝6 210
A　[∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3(x－1)文．依题意，得3(x－1)x＝6 210．故选A．]
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
[解]　设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．所以平均一个人传染了10个人．
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分) 1．一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项的系数是(　　)A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
B　[∵一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项是3x2，∴二次项的系数是3．故选B．]
课时分层评价卷(六)　一元二次方程及其应用
2．[图表信息题]根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为(　　)
A．0.28＜x＜0.29B．0.29＜x＜0.30　C．0.30＜x＜0.31D．0.31＜x＜0.32
C　[∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01，x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.026 1，∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31．故选C．]
3．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是(　　)A．(x＋5)2＝16B．(x＋5)2＝34　C．(x－5)2＝16D．(x＋5)2＝25
A　[∵x2＋10x＋9＝0，∴x2＋10x＝－9，∴x2＋10x＋52＝－9＋52，∴(x＋5)2＝16．故选A．]
6．(2024·四川自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　)A．有两个不相等的实数根　B．有两个相等的实数根　C．只有一个实数根　D．没有实数根
A　[关于x的方程x2＋mx－2＝0中，∵a＝1，b＝m，c＝－2，∴Δ＝m2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．]
7．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　　)A．m＜0且m≠－1B．m≥0C．m≤0且m≠－1D．m＜0
8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是(　　)A．x2＋6x＋5＝0B．x2－7x＋10＝0　C．x2－5x＋2＝0D．x2－6x－10＝0
B　[∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，∴x1＋x2＝6＋1＝7，∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5，∴x1x2＝10．A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．故选B．]
9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)A．80(1－x2)＝60B．80(1－x)2＝60C．80(1－x)＝60D．80(1－2x)＝60
B　[根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，所以80(1－x)2＝60．故选B．]
10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________．
2　[由题意，将x＝1代入一元二次方程得，1－3＋a＝0，解得a＝2．]
11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________．
13．(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．
[解]　∵x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x＝0或x－4＝0，∴x1＝0，x2＝4．
15．如图，利用一面墙(墙的长度为20 m)，用34 m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1 m宽的门，设AB的长为x m．
(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；(2)两个鸡场面积和S可以等于160 m2吗？如果可以，求出此时AB的值．
[解]　(1)由题意可得，S＝x(34－3x＋2)＝x(36－3x)＝－3x2＋36x，即S关于x的关系式是S＝－3x2＋36x．(2)依题意，－3x2＋36x＝160，即3x2－36x＋160＝0，∵Δ＝b2－4ac＝362－4×3×160＝－624＜0，原方程无实数根，∴两个鸡场面积和S不能等于160 m2．
16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)A．17或13B．13或21C．17D．13
C　[由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，∵3＋3