2025年中考数学总复习课件(山东省专用)31 第一部分 第五章 第二节 矩形、菱形和正方形

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考点一　矩形的性质和判定1．矩形的定义和性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的__________叫做矩形．(2)矩形的性质：①矩形具有平行四边形的所有性质．②角：矩形的四个角都是____．③对角线：矩形的对角线____．
2．矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有______是直角的四边形是矩形．(3)对角线____的平行四边形是矩形．
2．菱形的判定(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)．(2)四条边都相等的四边形是菱形．(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
考点三　正方形的性质和判定1．正方形的定义和性质(1)正方形的定义：有一组邻边____的____叫做正方形．(2)正方形的性质：①正方形的四个角都是____，四条边都____．②正方形的对角线____且互相________．
2．正方形的判定(1)对角线相等的____是正方形．(2)对角线垂直的____是正方形．(3)有一个角是直角的____是正方形．
1．下列命题，其中是真命题的是(　　)A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形　B．有一个角是直角的四边形是矩形　C．对角线互相平分的四边形是菱形　D．对角线互相垂直的矩形是正方形
D　[对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B选项不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D选项符合题意．故选D．]
3．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝42°，则∠BFC的度数为(　　)A．72°B．71°C．70°D．69°
4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．
[证明]　∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C，又∵∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF，∴AD－AE＝CD－CF，∴DE＝DF．
5．(北师大版九上例题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
[解]　BE＝DF，且BE⊥DF．理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°．∴∠BCE＝∠DCF．又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE＝DF．
(2)延长BE交DF于点M(如图)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF．∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°．∴∠CBE＋∠F＝90°．∴∠BMF＝90°．∴BE⊥DF．
考点突破 对点演练
法二：延长AB，在AB的延长线上截取BM＝AB，连接CM，过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，如图．∵AB∥CD，AB⊥BD，∴CD⊥BD，∵CN⊥AB，∴CN⊥CD，∴BD∥CN，∴四边形BNCD是矩形，∴BN＝CD＝3，CN＝BD＝4，∴NM＝BM－BN＝2，
方法总结　矩形性质的问题，利用矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线把矩形分成两个全等的三角形，经常结合勾股定理来解答．
[对点演练]1．(典例1变式)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2＝(　　)A．34°B．56°C．79°D．146°
B　[如图，由题意得：∠3＝180°－∠1＝180°－124°＝56°，根据矩形的性质推出，∠4＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠2＝56°．故选B．]
3．(2024·泰山期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为AB上一动点(不与A，B重合)，作PE⊥AC，垂足为点E，PF⊥BC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值是 ________．
A　[如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE，垂足为点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，
[解]　(1)证明：∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°．∵∠ABO＝∠ACE，∴∠CAE＋∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
方法总结　菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
2．(鲁教版八下P11习题6.3 T4改编)如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH 是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　)A．AB＝CDB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AD＝BC
A　[∵点E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE．又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正确；
C　[如图，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，作MH⊥AB，垂足为点H，作AI⊥GM，垂足为点I．∵∠EMF＋∠EGF＝180°，∴点E，M，F，G四点共圆，∴∠EMG＝∠EFG＝30°，∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
命题点3　正方形的性质和判定【典例3】　(2022·泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ________．
2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则顶点D的坐标为(　　)A．(－b，a＋b) B．(a－b，－a)　C．(－a，a－b) D．(b－a，－a)
B　[过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴∠BAO＋∠DAO＝∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＝∠DAO，∴△ABO≌△DAE(AAS)，∴DE＝OA，AE＝OB，∵点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，∴OA＝a，OB＝b，∴DE＝a，AE＝b，∴OE＝b－a，∴顶点D的坐标为(a－b，－a)，故选B．]
3．(鲁教版八下P19例4改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状；(3)△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形？证明你的结论．
[解]　(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°．∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．
(2)四边形ABDE是平行四边形．理由如下：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形．
(3)当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD＝CD＝BD，又∵四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．
课时分层评价卷(二十一)　矩形、菱形和正方形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分) 1．[情境题]如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为(　　)A．27°　　　B．53°　　　C．57°　　　D．63°
D　[如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF＋27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选D．]
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(　　)A．4B．4.5C．5D．5.5
3．[情境题]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(　　)A．测量两条对角线是否相等　B．度量两个角是否是90°　C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等　D．测量两组对边是否分别相等
C　[测量两条对角线是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定是否为矩形，故选项A不符合题意；度量两个角是否是90°，不能判定是否为平行四边形，更不能判定是否为矩形，故选项B不符合题意；测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合题意；测量两组对边是否相等，可以判定是否为平行四边形，但不能判定是否为矩形，故选项D不符合题意．故选C．]
D　[过点E作EM⊥BC，垂足为点M，过点E作EN⊥CD，垂足为点N，如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形．
6．[易错题]如图，将边长为15的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离AA′＝________．
7或8　[设AA′＝x，AC与A′B′相交于点G，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∴△AA′G是等腰直角三角形，∴A′G＝AA′＝x，∴A′D＝AD－AA′＝15－x．
∵两个三角形重叠部分的面积为56，∴x(15－x)＝56，解得x1＝7，x2＝8，即移动的距离AA′为7或8．故答案为7或8．]
7．(鲁教版八下P26习题6.8T2改编)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
8．(鲁教版八下P23随堂练习T2改编)如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝10，tan ∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC，垂足为点F，连接DE，EF．(1)求证：四边形AEFD为平行四边形；(2)①当t＝________s时，四边形AEFD为菱形；②当t＝________s时，四边形DEBF为矩形．
(2)①由(1)知四边形AEFD为平行四边形，∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，即2t＝60－4t，解得t＝10，∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形．故答案为10．
【拓展延伸】(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．