浙江省G3联盟2025届九年级下学期中考第一次联考模拟数学试卷(含解析)

这是一份浙江省G3联盟2025届九年级下学期中考第一次联考模拟数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，未知，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中，比-2小1的数是（ ）
A．-3B．3C．-1D．1
2．老师在黑板上写出一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A．B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变D．这组数据的众数是6
3．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
5．如图，在中，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2B．C．3D．
7．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
二、未知
9．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤
11．图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：
(1)在图中画出两个以为斜边的直角三角形，且点在格点上；
(2)在图中画出一个以为对角线的菱形，且，在格点上．
三、填空题
12．计算： ．
13．如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ．
14．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为 ．
15．已知双曲线与函数的图像有两个交点，则a的值是 ．
16．直角三角形和的直角顶点重合在点A，，，，M、N分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ．
17．如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是 ．
四、解答题
18．已知：如图，是的直径，弦，是上一点，，的延长线相交于点．求证：．
19．某校学生会向全校2100名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生人数为______，图1中30元所对的圆心角度数是______．
(2)本次调查获取的样本数据的平均数为______元、众数为______元、中位数为______元；
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数．
20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)点是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．
①若，求抛物线的表达式；
②若，结合函数图象，直接写出N的取值范围．
21．【阅读理解】小宁学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值．
【解题思路】小宁先画出了几何图形（如图1），他觉得虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连接，构造出等腰（如图2）．

【解题过程】在上截取，再连接，
可证为等腰三角形，设，则．
【尝试应用】（1）如图3，求的值；
【拓展应用】（2）如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为米，请帮助他求出纪念碑的高度（结果保留整数，参考数据：）．

22．抛物线经过和两点．
(1)求的值及，满足的关系式；
(2)抛物线同时经过两个不同的点和，求的值；
(3)若抛物线在和两点间随的增大而减少，求的取值范围．
23．[问题提出]
(1)如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是________；
[问题探究]
(2)如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；
[问题解决]
(3)如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．
《2025年浙江省G3联盟中考数学第一次联考模拟试题》参考答案
1．A
解：比-2小1的数为-2-1=-3．
故答案为：A．
2．C
解：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
∴添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．A
∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5．
列表得：
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：．
故选A．
4．C
解：如图，连接，设每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：，，，
，
，
在中，
，
故选：C．
5．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，与所对的弧相同，且是圆心角，是圆周角，
∴，
故选：．
6．A
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED＋DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2＋CF2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
7．C
解：∵一次函数（是常数），，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：．
8．B
解：由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方，
即，
∴不等式的解集是或，
故选：．
9．A
10．B
解：∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD，∠CAB=∠CAD=∠ABD=∠CBD=∠ACB=∠ACD=45°
∴AC平分∠BAD，BD平分∠ABC
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
∵AE=AE
∴△APE≌△AME，故①正确；
∴AP=AM
同理得△BFP≌△BFN
∴BP=BN
∵PM=AP，PN=PB
∴PM+PN=AP+PB=(AP+PB)=AB
∵AC=AB
∵ PM+PN＝AC，故②正确；
∵AC⊥BD，PE⊥OA，PF⊥OB
∴四边形PEOF为矩形
∴PE=OF
∴PE2+PF2=OF2+PF2=PO2，故③正确；
易知△BNF为等腰直角三角形，而△POF不一定是等腰直角三角形，故④错误；
连接MN交BD于点H
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD
∵AM=AP
∴MD=PB
∵PB=PN
∴MD=BN
∵AD||BC
∴∠HDM=∠HBN，∠HMD=∠HNB
∴△HMD≌△HNB
∴HD=HB
∵H在BD上，且OB=OD
∴点H与点O重合即点O在M、N两点的连线上，故⑤正确；
综上所述： ①②③⑤正确．
故故答案：B．
由正方形的性质知AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，结合PE⊥AC，PF⊥BD可得 △APE≌△AME，PM+PN＝AC 可判断①②，PEOF为矩形可判断③，由△BNF的形状可判断④不成立，连接MN交BD于 点H，通过证明△HMD≌△HNB得M、O、N共线．
11．(1)见解析；
(2)见解析．
1）解：点、即为所求
（2）解：菱形即为所求．
（1）根据等边三角形的性质，底边中线垂直底边，即可得到满足条件的直角三角形；
（2）根据AB的位置特点以AB为一条边分别在AB上方和AB下方作等边三角形，即可得到 以为对角线的菱形．
12．3
解：原式
．
故答案为：3．
13．
解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
设扇形围成的圆锥的底面半径为，
则，
解得，
∴该圆锥的高为：，
故答案为：．
14．16
解：∵在中，，，，
∴，
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：16．
15．
解：当时，联立得：，
设方程的两个根分别为，
∴，
∴方程的两个根为一正一负，
∴当时，函数与双曲线只有1个交点，
同理可得当时，函数与双曲线只有1个交点，
联立得，
∴，
∴，
又∵当时，此时双曲线在第三象限，而函数的函数图象不经过第三象限，
∴
故答案为：．
16．
解：过点A作于点F，设，
在中，，
∵等腰直角中，，
∴，
∴在中，
则
则的最小值转化为在平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值，
如图，过点F作x轴的对称点，此时，则，
当点D与与x轴的交点G重合时，取得最小值，
即的最小值为，
故答案为：．
17．
解：∵正三角形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是上一点，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
18．证明见解析
如图，连接
，是的直径
，，，共圆
．
19．(1)，
(2)，，
(3)人
（1）解：由统计图可得，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：，
∵，
∴30元所对的圆心角度数；
（2）解：本次调查获取的样本数据的平均数是：（元，
本次调查获取的样本数据的众数是：30元，
本次调查获取的样本数据按从小到大排列，第25个、第26个数都是30元，
所以中位数是：30元；
（3）解：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数为：（人，
答：该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1176人．
20．(1)
(2)①；②
（1）解：把代入得，，
∴；
（2）解：①依题意，当时，该抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
由抛物线过，得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
②∵抛物线经过点，
∴，
∴，
由题意得N是抛物线顶点的纵坐标，
∴，
设 ，其函数图象如下图所示，由函数图象可知时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，则，此时，函数有最大值为2，
当时，则，当时，则，
∴当时，则取其下限1(不等于1)，
∴．
21．（1）；（2）20米
解：（1）如图3，

作的中垂线交于，连接，
则，
，
，
设，
在中，，，
，
，
；
（2）由题意得，则四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，
，
，
（米），
答：纪念碑的高度为20米．
22．(1)；
(2)
(3)a的取值范围为0＜a≤1或-1≤a＜0；
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，4）和B（2，0），
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：抛物线为：
该抛物线的对称轴为，
抛物线同时经过两个不同的点和，
该抛物线的对称轴为

解得： 经检验符合题意；
（3）由（1）可得：y=ax2+（-2a-2）x+4，
∴该抛物线的对称轴为，
∵抛物线在A、B两点间y随x的增大而减小，
∴当a＞0时，开口向上，对称轴在B点右侧或经过B点， 即，
∵a＞0， ∴a+1≥2a，
解得a≤1， ∴0＜a≤1．
当a＜0时，开口向下，对称轴在A点左侧或经过A点， 即，
∵a＜0，
∴a+1≥0， 解得a≥-1，
∴-1≤a＜0．
综上， a的取值范围为0＜a≤1或-1≤a＜0．
23．(1)6
(2)
(3)60+40
（1）解：当C在线段AB延长线上时，AC最大，此时AC＝AB+BC＝4+2＝6，
故答案为：6；
（2）解：连接AO并延长交半圆O于F，如图：
∵正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，边长为2，
∴∠ADO＝90°，AD＝2，OD＝OC＝OF＝1，
当E运动到F时，AE最大，AF的长度即是AE的最大值，
Rt△AOD中，AO＝ ，
∴AF＝AO+OF＝+1，
即AE最大为+1；
（3）解：作BC的垂直平分线DE，在BC下方作∠BCO＝30°，射线CO交DE于O，以O为圆心，OC为半径作⊙O，连接OB、连接AO并延长交⊙O于P，则AP为满足条件的小路，过A作AF⊥OC于F，如图：
∵∠BCO＝30°，∠ACB＝30°，
∴∠ACF＝60°，
Rt△ACF中，AF＝AC•sin60°＝30，CF＝AC•cs60°＝10 ，
∵DE垂直平分BC，BC＝120，
∴CE＝60，∠OEC＝90°，
∴OC＝ ，
∴OF＝OC﹣CF＝30，
Rt△AOF中，OA＝ ，
∴AP＝OA+OP＝60+40．
即小路AP的长度最大为60+40．
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6