2024年浙江省G3联盟中考数学第二次联考模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 这是2024年1月某日的气温实施预测情况，则通过预测图可知，下午5时的气温和此时气温的相对差值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数减法的应用，直接根据有理数减法的运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】下午5时的气温是，此时气温为
下午5时的气温和此时气温的相对差值为
故选D．
2. “天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：C选项中图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A，B，D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
3. 2023年杭州亚运会，有五位同学将参加“中国舞迎亚运”活动，已知小队中的每个人的身高（单位：cm）分别为：168、167、170、172、158．则这些队员的身高的方差为（ ）
A. 116B. 33.4C. 23.2D. 4.8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求方差，掌握方差公式，是解题的关键．
【详解】解：平均数为，
∴方差为；
故选C．
4. 某商场举办促销活动，负责人在一个不透明的袋子里装着8个大小、质量相同的小球，其中5个为红色、2个为黄色、1个为绿色，若要获奖需要一次性摸出2个红球和1个黄球，那么获奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列树状图求概率，先把所有情况列出来，用符合情况数除以总数，即可作答．
【详解】解：把红色球记为“1”、黄色球记为“2”、 绿球记为“3”，列出树状图如下：
共有（种）结果，符合一次性摸出2个红球和1个黄球的结果数为120种
则
故选：D
5. 如图，在中，D为BC的中点，若，．则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理及锐角三角函数，准确识图找准线段间等量关系是解题关键．
先判定为直角三角形，然后根据线段中点的概念分析可得，从而利用正切的概念计算求解．
【详解】解：∵点D为BC的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，即为直角三角形，
在Rt中，，
故选：D．
6. 如图，在上有C、E、F、G四个点，其中为的角平分线，若，E、A、F共线，则的度数为（ ）
A. 75°B. 60°C. 45°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】连接，由共线可知是的直径，故，根据，得出的度数，再由为的角平分线得出的度数，进而得出结论．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵共线，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵为的角平分线，
∴，
∴．
故选：A．
7. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值．
【详解】过点P作轴于点E， 如图所示：

依题意得：，，，，
在中 ，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
同理可证：，
∴，即
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则m的取值为（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键．
由题意可知，且在的下方，则，当经过点时，，此时两直线相交，则时，．
【详解】解：，
直线经过定点，
无论取何值，始终有，
，且在的下方，
，
当经过点时，
，
，
此时两直线相交，
时，，
即．
故选：B．
9. 点，都在二次函数的图像上，若，则下列可能成立的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式．
先把点A、B的坐标分别代入解析式得到，，则利用得到，则，然后依次对各选项进行判断．
【详解】解：把，代入中得
，，
∵，
∴，
即，所以B选项不符合题意；
当时，，所以A选项不符合题意；
当时，可能等于0，所以C选项符合题意；
当时，，所以D选项不符合题意．
故选：C．
10. 将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（ ）
A. 的面积
B. 的面积
C. 平行四边形的面积
D. 剩余部分的面积之和与正方形面积和
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据等边对等角，正方形的性质，得到，进而得到，推出，得到，设阴影部分的面积为，即可求出的面积，延长交于点，则四边形为矩形，进而可求出平行四边形的面积，用平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可求出剩余部分的面积之和与正方形面积和，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵与是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设阴影部分的面积为，
则：，
∵平行四边形，
∴，
∴和全等，
∴，
∴，
故的面积可求；
∴，
延长交于点，则四边形为矩形，
∴，
∴，
故平行四边形的面积可求；
∴剩余部分的面积之和与正方形面积和等于，可求；
故只有的面积无法求出；
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是添加辅助线构造平行线和特殊图形．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 定义一种运算，计算____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，根据定义运算进行列式，再化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：
12. 从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆锥的母线、底面半径和高的关系，圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，圆锥的体积，熟练掌握圆锥的相关计算公式是解题的关键．圆锥的母线、底面半径和高的关系：；圆锥侧面展开图的圆心角计算公式：；圆锥的体积是．连结，，证明是等边三角形，继而求得的长，然后利用圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，求出底面半径，根据母线、底面半径和高的关系，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可作答．
【详解】连结，，
，为半径，
，
是等边三角形，
，
即圆锥的母线长，
，
，
，
，
，
解得，
，
即该圆锥的体积为．
故答案为：．
13. 某校区的输水管模型如图，输水管的直径为，某时刻水面满足，则此时水管截面的水面面积（即阴影部分面积）为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，先求出弓形的面积，再用圆的面积减去弓形的面积，进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14. 平面直角坐标系中，直线分别与函数的图象交于、，若轴负半轴上存在点使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定和性质进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴，
设且，
∴，
∴，
如图，过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
∵，而，
∴，即，而，
∴，而，
解得，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数、全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，反比例函数与几何的综合等知识点，正确画出图形是解答本题的关键．
15. 如图，在中，，以点B为圆心、为半径画劣弧交射线于点D，M为的中点，联接、，分别交、于点E、F，如果点B是线段的黄金分割点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了余弦的定义，三角形三边关系的应用，黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键，根据题意可得，然后利用黄金分割的定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得∶，
在中，
∴，
∴，
∵点B是线段的黄金分割点，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次函数最值，熟练掌握化简二次根式是解答本题的关键．根据题意设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为联立方程组得到坐标，由中点坐标公式得到再根据两点间的距离公式得到的代数式，由面积公式得到，利用均值不等式得到最小值即可．
【详解】解：由，且两直线均与抛物线有两个交点，所以直线k值都存在，
设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为
直线与抛物线联立方程组为：
，消去y得
设
由根与系数的关系得：
∵为线段的中点，
∴
∴
同理得
∴
∵
∴
根据均值不等式，当时，
即时，的面积最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知：如图，是的直径，弦，是上一点，，的延长线相交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据垂径定理、圆周角定理得出，再根据四点共圆的性质可得，然后根据等量代换即可得证．
【详解】如图，连接
，是的直径
，，，共圆
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、四点共圆的性质等知识点，通过作辅助线，利用到圆周角定理和四点共圆的性质是解题关键．
18. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：
（1）在图1中画出两个以为斜边的直角三角形，且点C在格点上；
（2）在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E在格点上．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质及直角三角形的性质作图；
（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：点即为所求；
【小问2详解】
解：菱形即为所求．
19. 法国著名的思想家伏尔泰说过“生命在于运动”，某大学小组为了调查初中同学学生课后运动时间，按照时间分为A、B、C、D四个等级，绘制了如下不完整统计表：
（1）求本次调查的总人数，并且补全人数分布图；
（2）估计本次调查的中位数位于A、B、C、D哪个等级中；
（3）小宁认为我们可以根据本次调查数据精确预测全市初中生为A等的人数，请判断他这句话的正误，并说明理由．
【答案】（1）50人，补全人数分布图见解析
（2）B等级 （3）这句话是错误的，本次调查是抽样调查，是用样本的数据估计全体的情况，因此只能根据本次调查数据估计全市初中生为A等的人数，只是估计值，而非精确值．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合，中位数，用样本估计总体．
（1）将A等级的人数除以所占的百分比，即可求出总人数．将总人数减去A、B、D等级的人数之和，求出C等级的人数，即可补全人数分布图；
（2）根据中位数的定义即可解答；
（3）根据抽样调查的意义即可解答．
【小问1详解】
本次调查的总人数为：（人），
C等级人数：（人），
补全人数分布图如下：
【小问2详解】
本次调查50位学生，按等级排序后，中位数是第25位和第26为学生等级的平均数，
而第25位和第26为学生均为B等级，
故本次调查的中位数位于B等级．
【小问3详解】
这句话是错误的．
因为本次调查是抽样调查，是用样本的数据估计全体的情况，
因此只能根据本次调查数据估计全市初中生为A等的人数，只是估计值，而非精确值．
20. 顶点为D的二次函数满足以下三个条件的任意两个：
①其与轴的交点为；
②其与x轴的交点为和；
③该函数其最大值为12
（1）从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
（2）若存在直线，二次函数上的存在一个点A，使得等于A到直线的距离，求出A点的坐标．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式．
（1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式；
（2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标．
【小问1详解】
解：选择条件①和②，
∵二次函数与y轴的交点为
∴，
∵二次函数与x轴的交点为和；
∴将点和代入函数，
∴，
∴函数的表达式
答：函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：设点A的坐标为，
∵点D为函数的顶点，
则对称轴，
把代入，得，
∴点D的坐标为，
∵直线，
∴点A到直线的距离，
∴，
设
∵A到直线的距离等于，
∴
∴，
∴或，
把代入，得
∴点，或
答：点A的坐标为：或．
21. 阅读理解
【答案】活动1：；活动2：米；总结与取优：42米
【解析】
【分析】活动一：过点E作于点M，根据求出根据求出，进而求出即可；
活动二：设塔高度为，用表示出，进而用求出x即可；
总结与取优：先证明，求出的长，再证明即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确理解题意并构造直角三角形是解题关键．
详解】解：活动一：过点E作于点M，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：；
活动二：设塔的高度为，
在中，，
∵，
∴，
∵,
∴
在中，，
∵，
∴，
解得，
即塔的高度大约为44.35米．
故答案为：44.35；
总结与取优：∵，
∴，
∵
∴
∴，
∵
∴
解得：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
即，
解得：，
∴塔高为42米．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线（，，常数，且）经过和两点．
（1）求和的值（用含的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键；
（1）把和代入，即可求解；
（2）先求出对称轴为：直线，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；
（3）分时，时，结合图象即可求解
【小问1详解】
解：把和代入，
得：，解得：；
【小问2详解】
∵抛物线经过经过，两点，
∴抛物线的对称轴为：直线，
∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，
∴，即；
【小问3详解】
①当时，，即，
解得：，抛物线不经过点 N，
如图①，抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知：；
②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则，
解得：，
当时，，此时，定点横坐标满足，符合题意；
所以当时，如图②，抛物线与线段只有一个交点，
如图③，当时，，此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N时，把代入，得，解得：，
∴当时，如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点 N，
结合图象可知：时，抛物线与线段有一个交点，
综上所述：a的取值范围为：或或
23. 如图，四边形内接于，为的直径，于点F交于点E．
（1）设，试用含的代数式表示；
（2）如图2，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若交于点G，设，．
①求y关于x的函数表达式．
②若，求y的值．
【答案】（1）
（2）2 （3）①②
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的内角和定理，即可得解；
（2）圆周角定理得到，进而得到，推出，得到，设，求出的长，即可得出结果；
（3）①过点作，得到，进而得到，根据，，推出，，利用结合进行求解即可；
②作于，根据已知条件推出，设，，勾股定理求出，再根据求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则：，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴；
【小问3详解】
①过点作，
则：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴；
②如图，作于，
∵，
∴，
设，，则：，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及到圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数解析式，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，掌握圆周角定理，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键，注意计算的准确性．教学实践活动：班测量雷峰塔高度实践的相关数据
活动1
如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为30°，则___________．

活动2
如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为___________．（）

总结与取优
老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔项A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高．