上海市长宁区2025届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

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2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知集合，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的定义可求.
【详解】由交集的定义可得，
故答案为：
2. 复数，，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
3. 已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式法可求.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故，
故，
故答案为：
4. 某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知结合全概率公式求解即可.
【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件，
选到新鲜苹果为事件，
所以，，，，
所以
，
所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是.
故答案为：.
5. 为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_________原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．）
【答案】拒绝
【解析】
【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解.
【详解】已知显著性水平，，即临界值为，
因为，所以可推断拒绝原假设.
故答案为：拒绝.
6. 已知随机变量的分布是，则其方差_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用方差公式可求方差.
【详解】的期望为，
故，
故答案为：
7. 已知，，用表示为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解.
【详解】因为，，
所以，
；
所以．
故答案为: .
8. 顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，由二倍角的余弦函数即可求解.
【详解】
如图等腰三角形中，，过作交于，
所以为角平分线，
所以，即，
由已知可得，
所以，
所以.
故答案为：.
9. 一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求过第一、二关的概率，从而可得连过两关的概率.
【详解】由题设，在第一关投1次骰子，点数大于3，即掷得点数为，
则过第一关的概率为，
第二关投2次骰子，点数之和大于6，则两次掷得点数分别为：
，
故过第二关系的概率为，
故一个人连过第一、二关的概率为，
故答案为：.
10. 已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围.
【详解】
如图，过作，过作交的延长线于，
则四边形、四边形为平行四边形，连接，
则互相平分，故共线且为的中点，
而，故，故，
中，，，，
故，
故，
故答案为：
11. 现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于，则切割好后，木料体积的最大值是_________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】设正四面体定点在底面的投影为，连接，可得以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分，先求解底面面积，为高，即可求解切割好后，木料体积的最大值.
【详解】
设正四面体定点在底面的投影为，则为正三角形的中心，
连接，所以，，
若底面上任意一点到顶点的距离不大于，
设，则，
所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分为底，以为顶点的几何体即为符合要求的部分，
如图以为圆心，半径为的圆与底面相交的交点为，
延长交于，连接，，
所以，，
所以，所以，
所以，所以为等边三角形，
所以以为圆心，半径为的圆在底面内的部分的面积为
，
所以切割好后，木料体积的最大值是.
故答案为：.
12. 已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知的值域是值域的子集，先求出的值域，再对分类讨论求值域，从而求得的取值范围.
【详解】对任意的，存在，使得，
的值域是值域的子集，
当时，的值域为，
是定义在上的函数，其图像关于原点对称，
是奇函数，且，
当时，，的对称轴方程为，
当时，在上单调递增，
在时的范围是，，，
在上的值域为，
此时的值域不可能为值域的子集，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在时的范围是，，，
在上的值域为，
此时的值域不可能为值域的子集，舍去；
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
在时的范围是，，，
在上的值域为，
此时的值域不可能为值域的子集，舍去；
当，即时，在上单调递减，
在时的范围是，
若，则，，
在上的值域为，
此时的值域不可能为值域的子集，舍去；
若，则，，
，或解得，或，；
若，则，，
在上的值域为，
此时的值域不可能为值域的子集，舍去；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由已知当，，所以，故错误；
因为，当时，所以，故错误；
当非零实数，一正一负时，无意义，故错误；
因为在上单调递增，且，
所以，故正确
故选：.
14. 某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 变量x、y之间呈正相关B. 预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本
C. D. 拟合误差
【答案】C
【解析】
【分析】根据线性回归方程即可判断；将代入线性回归方程即可判断；由在线性回归方程上，即可求解；根据拟合误差计算公式求解即可.
【详解】因为线性回归方程为，，
所以变量x、y之间呈正相关，故正确；
当时，（百本），所以书籍销量约为400本，故正确；
由表中数据可得，，
所以，解得，故错误；
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以，故正确.
故选：.
15. 如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ）
A. 存在点D和，使得B. 存在点D和，使得
C. 存在点D和，使得D. 存在点D和，使得
【答案】B
【解析】
【分析】取特例判断ACD，利用反证法判断B后可得正确的选项.
【详解】对于AD，取为中点，，则，而，
故，故在几何体中，，
而，故为二面角的平面角，故，
故，而平面，
故平面，而平面，故，故A成立.
因，，平面，
故平面，而平面，故，故D成立.
对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面，
而平面，故，故C成立.
对于B，过作平面，垂足为，
因为平面，故，
若，因为平面，
故平面，而平面，故，
而，故在上，
因为，平面，故平面，
而平面，故，故，但，
矛盾，故不成立即B不成立，
故选：B.
16. 椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则
②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为；
则以下说法正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②.
【详解】设，因为，所以，
当时，，
所以在点处的切线的斜率为，
同理可得当时，在点处的切线的斜率为，
所以椭圆在点处的切线的斜率为，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，故①是真命题；
因为发出光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，
所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为，
所以，所以，故②是真命题.
故选：
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知向量．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间；
（2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围.
【小问1详解】
，
令，则，其中，
故函数的单调递减区间为，.
【小问2详解】
由题设有在有两个不同的零点，
而，故在有两个不同的解，
故与的图象在上有两个不同的交点，
而在为增函数，在为减函数，
且，故，
故.
18. 如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离以及三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见详解
（2）；
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；
(2)利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
连接，取的中点，连接，，
，，
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
分别为，的中点，且，
点D是棱的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
，平面，
平面，平面平面；
【小问2详解】
，，，
点D是棱的中点，，
，，
由(1)知平面，，
，
，，
设点到平面的距离为，
，
，，
点到平面的距离为，三棱锥的体积为.
19. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）
方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
（1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）顾客B恰好消费了800元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
【答案】（1）
（2）①分布列见解析，；②选择方案
【解析】
【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解；
（2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断.
【小问1详解】
设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，
在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球，
享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况，
从7个球中不放回摸2个球，总情况有种，
摸出两个红球的情况有种，
摸出1红1蓝的情况有种，
所以；
【小问2详解】
①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，
从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为，
当摸出0个红球时，，
当摸出1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以实付金额的分布列为
实付金额的期望为
；
②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，
当摸出0个红球或1个红球时，，
当摸出2个红球时，，
当摸出3个红球时，，
所以，
所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理.
20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率．
（1）求双曲线的方程；
（2）若三角形是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）直线不垂直于x轴，且与曲线另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围．
【答案】（1）
（2）或.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程；
（2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标；
（3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围.
【小问1详解】
设半焦距为，则即，而，故，
故，，故双曲线的方程为：.
【小问2详解】
由（1）得，，
因为在第一象限，故设，其中，
因为三角形是等腰三角形，故或或，
若，则在的中垂线上，则，舍；
若，则，故，
故，解得，故.
若，同理有，，
故，
综上，或.
【小问3详解】
设直线，设，
而，故，
因为是锐角， 故，
所以，
整理得到，
由可得，
故且，
且，所以，
又，
整理得：，故或或.
21. 已知函数的定义域，对任意实数a，定义集合．
（1）已知，求．
（2）已知，若集合只有一个元素，求a的值；
（3）已知，其中且，求证：集合是一个区间．
【答案】（1）
（2）1 （3）见详解
【解析】
【分析】（1）由题意可知，即不等式的解集，解此不等式即可得到结果；
（2）构造函数，可知即的解集，将集合只有一个元素，转化为方程有唯一解，且函数在该点处与轴相切.再借助导数，求即可求出的值
（3）构造函数，可知即的解集，求导，令，解得两根和1，通过讨论两根的大小情况，来研究的正负，进而研究的单调性，通过的正负来说明的解集，即集合必是一个区间.
【小问1详解】
函数的定义域为，
由题意可知即不等式的解集，
可化为，整理可得，
即，解得或，
所以
【小问2详解】
函数的定义域为，
由题意可知即不等式的解集，
令，所以即的解集，
若集合只有一个元素，即方程有唯一解，
且函数在该点处与轴相切.
因为，
（i）当时，恒成立，在上单调递增，
所以，无解，故不成立；
（ii）当时，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，
即，解得.
经检验，当时， ，
所以只有一个解，且，
符合题意，故a的值为1；
【小问3详解】
函数的定义域为，
由题意可知即不等式（且）的解集，
即（且）的解集
令，
则，
①当时，恒成立，单调递增，当
所以的解集，即集合必是一个区间；
②当时，令，解得
所以在上单调递增，在和单调递减，
且，所以的解集，即集合必是一个区间；
③当时，令，解得
所以在上单调递增，在和单调递减，
且，所以的解集，即集合必是一个区间；x
3
4
5
6
y
5
6.2
7.4
m
800
650
500
150