上海市长宁区2025届高三二模考试数学试卷（含答案）

这是一份上海市长宁区2025届高三二模考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知非零实数a>b，则下列命题中成立的是( )．
A. a2>b2B. ab>b2C. a2+b2≥2 abD. a3>b3
2.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x(千元)和书籍销量y(百本)的情况进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.2x+1.6，则下列说法不正确的是( )
A. 变量x、y之间呈正相关
B. 预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本
C. m=8.8
D. 拟合误差Q=0.48
3.如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点(不与C重合)，将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是C1，连接CC1，设θ为二面角C1−DE−C大小，θ∈(0,π).在翻折过程中，下列说法当中不正确的是( )
A. 存在点D和θ，使得DC1⊥ACB. 存在点D和θ，使得BC1⊥AC
C. 存在点D和θ，使得BC1⊥DED. 存在点D和θ，使得CC1⊥DE
4.椭圆具有如下光学性质：如图，F1(−c,0),F2(c,0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，从点F1发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F2，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为M(t,0)，则t∈−c2a,c2a
②若从F1发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到F1所经过的路程为8c，则该椭圆的离心率为12；
则以下说法正确的是( )
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合A=(−2,1),B=(0,3]，则A∩B= ．
6.复数z1=2−3i，z2=1−2i，则z1⋅z2= ．
7.已知数列an是等差数列，且a1=2,a6=17，则其前7项和S7= ．
8.某水果店的苹果，60％来自A基地，40％来自B基地，A基地苹果的新鲜率为90％，B基地苹果的新鲜率为85％，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是 ．
9.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断 原假设H0.(填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α=0.1,Pχ2≥2.706≈0.1.)
10.已知随机变量X的分布是−101141412，则其方差D[X]= ．
11.已知lg189=a，18b=5，用a,b表示lg3645为 ．
12.顶角为36∘的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比φ，用黄金比φ表示cs36∘= ．
13.一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于3n，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为 ．
14.已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且AE=2,BD=3，则三角形ABC的面积的取值范围是 ．
15.现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于 7，则切割好后，木料体积的最大值是 .(结果保留π)
16.已知函数y=f(x)和y=g(x)，其中f(x)=lg2x，且y=g(x)是定义在R上的函数，其图像关于原点对称，当x∈(0,1]时，g(x)=x2−mx−m+5.若对任意的x1∈12,2，存在x2∈[−1,1]，使得fx1=gx2，则m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知向量m=(sinx+csx,2sinx),n=(sinx−csx, 3csx),f(x)=m⋅n．
(1)求函数y=f(x)的单调递减区间；
(2)若函数y=f(x)−a在区间0,π2上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
18.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC−A′B′C′中，AB⊥AC,AC=AB=2,AA′=2 2，点D是棱AA′的中点．
(1)求证：平面CDB′⊥平面CBB′C′；
(2)求点C′到平面CDB′的距离以及三棱锥C′−CDB′的体积．
19.(本小题14分)
为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)
方案1：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元(即总共减650元)；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客B恰好消费了800元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01)；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
20.(本小题14分)
已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线Γ的离心率e=2,b=2 3．
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)若三角形APF2是等腰三角形，求点P的坐标；
(3)直线PF2不垂直于x轴，且与曲线Γ的另一个交点为Q，若∠PF1Q是锐角，求直线PF2的斜率的取值范围．
21.(本小题14分)
已知函数y=f(x)的定义域D⊆R，对任意实数a，定义集合Qf(a)={x∣f(x)≤a,x∈D}．
(1)已知f(x)=1+x1−x，求Qf(2)．
(2)已知f(x)=ex−ax，若集合Qf(a)只有一个元素，求a的值；
(3)已知f(x)=−a4x2+a+22x−lnx+12，其中a∈R且a>0，求证：集合Qf(a)是一个区间．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.(0,1)
6.8+i/i+8
7.77

9.拒绝
10.1116/0.6875
11.a+b2−a
12.1−φ22
13.724
14.(0,4]
15.3 24+ 6π6
16.[3,5]
17.(1)f(x)=sin2x−cs2x+2 3sinxcsx= 3sin2x−cs2x=2sin2x−π6，
令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，则kπ+π3≤x≤kπ+5π6，其中k∈Z，
故函数y=f(x)的单调递减区间为kπ+π3,kπ+5π6，k∈Z．
(2)由题设有a=f(x)=2sin2x−π6在0,π2有两个不同的零点，
而2x−π6∈−π6,5π6，故a2=sint在−π6,5π6有两个不同的解，
故y=a2与s(t)=sint的图象在−π6,5π6上有两个不同的交点，
而s(t)=sint在−π6,π2为增函数，在π2,5π6为减函数，
且s−π6=−12,sπ2=1,s5π6=12，故120，
由y=k(x−4)3x2−y2=12可得3−k2x2+8k2x−16k2−12=0，
故3−k2≠0且Δ=64k4+43−k216k2+12=144k2+144>0，
且x1+x2=−8k23−k2,x1x2=−16k2−123−k2，所以k≠± 3，
又1+k2×−16k2−123−k2+4−4k2×−8k23−k2+16+16k2>0，
整理得：9−7k23−k20恒成立，g(x)在R上单调递增，
所以g(x)>g(0)=1−a>0，g(x)=0无解，故不成立；
(ii)当a>0时，令g′(x)=0，解得x=lna，
当x>lna时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x0)的解集
令ℎ(x)=−a4x2+a+22x−lnx+12−a，
则ℎ′(x)=−a2x+a+22−1x=(ax−2)(x−1)2x=−ax−2a(x−1)2x，
①当a=2时，ℎ′(x)≤0恒成立，ℎ(x)单调递增，当x→+∞,ℎ(x)→+∞
所以ℎ(x)≤0的解集，即集合Qf(a)必是一个区间；
②当a>2时，令ℎ′(x)>0，解得x∈2a,1
所以ℎ(x)在2a,1上单调递增，在0,2a和(1,+∞)单调递减，
且ℎ(1)=32−3a40，所以ℎ(x)≤0的解集，即集合Qf(a)必是一个区间；
x
3
4
5
6
y
5
6.2
7.4
m
X
800
650
500
150
P
27512
135512
225512
125512