专题07 数列（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）(原卷版+解析版)

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考情解读
数列的考查重点有所改变，23年之前常考的21题压轴题，现在填空题、选择题16，解答题17，也有可能与21题结合。高考占比8%左右，主要考查方向为数列的性质、通项公式、前n项和、数列单调性问题、数列综合。在最近3年的春考中，3年4考。
基础知识梳理
1、等差数列
等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为,为常数).
注:(1)为严格增数列;
(2)为严格减数列;
(3)为常数列.
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中叫做a,b的等差中项.
注:数列为等差数列
等差数列的有关公式
(1)通项公式:当时,是关于的一次函数;
(2)前项和公式:当时,是关于的二次函数,且没有常数项.
常用结论
已知为等差数列,为公差,为该数列的前项和.
(1)通项公式的推广:；
(2)在等差数列中,当时,,且均.
特别地,若,则,且均;
也成等差数列,公差为;
(5)若是等差数列,则也是等差数列;
(6)若是等差数列,则也成等差数列,其首项与首项相同,公差是公差的;
（7）若项数为偶数,则;
（8）若项数为奇数,则;
(9)在等差数列中,若,则满足的项数使得取得最大值;若,则满足的项数使得取得最小值.
说明:利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法.此处,可简称为“邻项变号法”求等差数列前项和的最值.
2、等比数列
等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示,定义的表达式为；
(2)等比中项:如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即是与的等比中项成等比数列.
注：只有当两个项同号且不为0时,才有等比中项,且等比中项有两个.
等比数列的有关公式
（1）通项公式:;
(2)前项和公式:
注:当时,,若令,则
无穷递缩等比数列的各项和公式
常用结论
（1）若且均,则;
若(项数相同)是等比数列,则仍是等比数列;
(3)在等比数列中,等距离取出若干项依次构成一个等比数列,即,为等比数列,公比为;
(4)为等比数列,若,则成等比数列;
(5)当时,是成等比数列的充要条件,此时
(6)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,等于中间项的平方.
3、数列的相关概念
数列的概念
（1）数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项;
（2）数列与函数的关系：从函数观点看,数列可以看成以正整数集(或它的有限子集,为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值;
注：数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要考虑函数的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.
数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分:
数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
注：(1)并不是所有的数列都有通项公式:
(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.
（2）递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
常用结论
(1)若数列的前项和为,通项公式为,则
(2)在数列中,若最大,则
4、数列前n项和的求法
1.公式法
(1)等差数列的前项和.
推导方法:倒序相加法.
等比数列的前项和推导方法:乘公比,错位相减法.
2.几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减;
(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前项和;
(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解;
注:错位相减时,注意最后一项的符号.
(4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.
3.常用结论
常见的裂项技巧：
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
5、数学归纳法
1.证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行
（1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时命题成立;
（2）(归纳递推)假设为正整数)时命题成立,证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
2.数学归纳法的框图表示
3.数学归纳法证题的关键点
（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数,这个,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点;
（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推,所以从“”到“”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由到时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项;
（3）利用假设是核心：在第二步证明成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来导出“”,在书写时,一定要把包含的式子写出来,尤其是中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
(4)综合(1),(2)才是完整的数学归纳法.
考点精讲讲练
考点一：数列基本量及其性质
【典型例题】
例1．（24-25高三上·上海·阶段练习）“两个非零向量x=(a,b)与y=(b,c)共线”是“a，b，c成等比数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】根据平面向量共线的坐标关系以及等比中项的概念判断即可得结论.
【解析】两个非零向量x=(a,b)与y=(b,c)共线，则ac−b2=0，即ac=b2，
若b=0，则a,c至少有一个为0，不符合题意，
故b≠0，则ac≠0，所以ba=cb，故a，b，c成等比数列；
若a，b，c成等比数列，则b2=ac，即ac−b2=0，且a,b,c均不为0，
所以两个非零向量x=(a,b)与y=(b,c)共线；
综上，“两个非零向量x=(a,b)与y=(b,c)共线”是“a，b，c成等比数列”的充要条件.
故选；C.
例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）等差数列an的前7项的和为28，则a4= .
【答案】4
【分析】由等差数列的前项公式有S7=a1+a7×72=28，再由a1+a7=2a4解得答案．
【解析】设Sn为等差数列的前项和，
因为等差数列an的前7项的和为28，
所以由等差数列的前项公式有S7=a1+a7×72=28，
即a1+a7=8，又因为a1+a7=2a4，所以a4=4.
故答案为：4.
例3．（2024·上海闵行·三模）设Sn是等比数列an的前n项和，若S3=4，a4+a5+a6=8，则S12S6= .
【答案】5
【分析】根据题意，由等比数列前n项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果.
【解析】由题意得S6−S3=8，S6=S3+8=4+8=12，
因为S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9，成等比数列，
故S6−S3S3=S9−S6S6−S3=S12−S9S9−S6，即82=4S9−12，解得S9=28，
则S9−S6=28−12=16，所以162=8S12−28，S12=60，故S12S6=6012=5.
故答案为：5
例4．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列an的通项公式为an=n+t,Sn为数列an的前n项和，若S2025