专题04 导数及其应用（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）(原卷版+解析版)

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导数的知识，高考占比7%，主要从导数的意义、导数的运算、导数的应用三个方面知识。考查方向多以导数的运算，切线方程、利用导数研究函数的单调性与最值用是考查的重点。春考中，3年4考。
基础知识
梳理
1、导数的概念
导数的概念：在已知函数的前提下，对于自变量某个给定值，赋予一个变化量，分析当趋近于时，函数值的变化量相对于自变量变化量的比值是否趋近于某一个稳定值。
如果这个稳定值存在，就说明在趋近于时有极限，并把这个极限记作，称为函数在处的导数（Derivative），记作，即有.
一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率。而就是函数在处的瞬时变化率.
基本初等函数的导数
根据导数的定义，可以求出一些基本初等函数的导数．为了更便捷地处理求导问题，
我们通常将以下基本初等函数的导数作为公式使用：
（1） （2），为常数
（3） （4）
（5） （6）
补充：（7） （8）
导数的四则运算
基本初等函数可以通过四则运算产生新的初等函数．这些初等函数的求导可以通过以下的“导数四则运算法则”归结为基本初等函数的求导.
（1）；
（2）；
（3），其中；
（4）
简单复合函数的导数
由与 复合而成的型复合函数的求导法则.
，其中
导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率.函数在点处的切线方程为：
驻点：通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点（statinary pint），曲线在其驻点处的切线是一条水平直线。
公切线问题
若曲线存在公切线：
共切点型：若曲线有公共，且在点处存在公切线，则只需联立方程组，求解即可；
不共切点型：
（1）分别设切点；
（2）求导，得切线斜率：
（3）由点斜式得切线：
（4）由公切线得斜率、截距相等，即联立求解．
【注意】（1）我们可以把“共切点型”看做“不共切点型”的特殊情况处理；
（2）需要注意斜率不存在的切线；（2）需要知道同时一条切线可能对应多个切点．
2、导数的应用
函数的单调性
在函数的定义域的某个区间内
若，则函数在内严格递增；
若，则函数在内严格递减；
若，则函数为内的常数函数.
其中：
当时，越大，曲线在点附近递增得越快；
当时，越小，曲线在点附近递减得越快。
函数的极值
设是函数定义域上的某个区间，存在，使；
若在区间内有，且在区间内有，那么是的一个极大值；
若在区间内有，且在区间内有，那么是的一个极小值.
函数的最大值、最小值
已知函数在上有定义，那么在内的极值与端点函数值、中，最大（小）的是在上的最大（小）值.
求函数的极值的方法：
第1步：求导数；
第2步：求方程的所有实数根；
第3步：考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值．
求函数最大（小）值的方法：
第1步：求在指定区间内所有使的点；
第2步：计算函数在区间内使的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．
考点精讲讲练
考点一：导数的运算
【典型例题】
例1．求下列函数的导数：
(1)y=x+11x−1；
(2)y=−12xsin4x；
(3)y=ln2x+3x2+1．
例2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数fx=xcsx−f′πx，则f′π= .
【即时演练】
1．（24-25高三上·上海·期中）若fx=x2−xf′1，则f′0= .
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数f(x)=ex+f′(1)x2，则f′(1)= .
考点二：导数的几何意义
【典型例题】
例1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数fx=2x2+1，则limΔx→0f1−Δx−f1Δx= ．
例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数f(x)=x3−2lnx在点(1,f(1))处的切线方程为 .
例3．（24-25高三上·上海·期中）设a,b∈R，函数y=lnx+ax在x=1处的切线方程为4y−x−b=0，则a+b= .
【即时演练】
1．（24-25高三上·上海·期中）若直线y=3x+a与曲线y=lnx+2x相切，则实数a的值为 .
2．（2024·青海·一模）已知曲线y=axlnx−x2在x=1处的切线斜率为1，则a= ．
3．如图，函数y=fx图像在点P处的切线方程是y=−x+8，则limℎ→0f5+ℎ−f5ℎ= .

考点三：利用导数研究函数的单调性
【典型例题】
例1．（2023·上海徐汇·一模）已知fx=lnx−a+1x+12ax2a∈R.
(1)当a=0时，求函数y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)当a∈0,1时，求函数y=fx的单调区间.
例2．已知函数y=fx，其中fx=x3+ax2+a+6x+ba,b∈R．
(1)若函数y=fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值；
(2)若y=fx在R上是严格增函数，求实数a的取值范围．
【即时演练】
1．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数f(x)的图像如图所示，设f(x)的导函数为f′x，则f′xf(x)>0的解集为 .
2．（23-24高三上·上海·期中）若函数fx=sinx+acsx在2π3,7π6上是严格单调函数，则实数a的取值范围为 ．
3．（2024·上海·三模）在区间I上，f′x>0是函数y=fx在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
考点四：利用导数研究函数的极值、最值
【典型例题】
例1．（24-25高三上·上海·期中）设a,b∈0,1，记S=a1+b+b1+a+1−a1−b，则它的最大值和最小值的差为 .
例2．（2023·上海奉贤·一模）设函数y=sinωxω>0在区间0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为 ．
例3．（24-25高三上·上海·期中）已知函数fx=exlnx−a.
(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线与x轴平行，求实数a的值；
(2)若函数fx在12,1内存在极值，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的实数x∈1,+∞，fx≥−1恒成立，求实数a的取值范围.
【即时演练】
1．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知a>0，函数fx=ex−a−1x.
(1)求函数gx=fxx的极值；
(2)讨论fx的单调性（写出单调区间）；
(3)若fx≥lnax恒成立，求a的最大值m，并证明：对于任意n∈N∗，都有12+1⋅122+1⋅…⋅12n+1−2，求函数fx的极值；
(3)若fx在区间1e2,+∞上无零点，求a的取值范围.
4．（2023·上海宝山·一模）已知函数fx=ex−x，gx=e−x+x，其中e为自然对数的底数.
(1)求函数y=fx的图象在点1,f1处的切线方程；
(2)设函数Fx=afx−gx，
①若a=e，求函数y=Fx的单调区间，并写出函数y=Fx−m有三个零点时实数m的取值范围；
②当0