专题12 概率初步、统计初步（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）(原卷版+解析版)

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概率初步与统计初步属于基础的考点，各占高考的3%左右。其中概率部分的重难点是概率的计算，事件的独立性、对立事件与互斥事件的判断；统计部分分层抽样，频率分布直方图、茎叶图与散点图，百分位数，方差是考察的重点。在最近的3年春考中，考察5次。
基础知识梳理
1.随机现象
具不确定性的现象称为随机现象.
2.样本空间与基本事件
定义一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间(samplespace),用表示,其中的元素称为基本事件(elementaryevent)或者样本点.
随机事件对应样本空间的一个子集.
3.必然事件、不可能事件
在一个随机试验中,有两个特别的事件.一个必然发生,称为必然事件,它对应的子集就是样本空间,即所有基本事件的集合;另外一个必然不发生,称为不可能事件,对应的子集是空集集,它们统称为确定事件,其余的称为不确定事件.
4.古典概率
古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验:（1）有限多结果;（2）等可能性.
古典概率
其中, 表示事件中的基本事件个数,而表示样本空间中的基本事件个数.上式
说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值.
5.互斥事件、对立事件
如果A与B没有共同的基本事件,即两个子集不相交:,那么这两个事件不可能同时发生,或者说互斥.
“事件A发生”的否定就是“事件A不发生”,它也是一个事件,称为事件A的对立事件，简称为“非A”.
6.概率的性质
概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量.
7.频率
作伯努利试验,假设我们可以独立地重复一个伯努利试验n次,其中成功的次数记作,
那么就被称为(n次试验中)成功的频率(frequency).频率是一个数,依赖于试验次数n,它不是一个
确定的数,而是一个随机的数.
8.伯努利大数定律

9.事件的独立性
两个事件与(相互)独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积,即
10.常用结论
从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性:如果是个两两互斥的事件,那么
1.总体与样本
我们把研究对象的全体叫做总体,总体中的每一个对象叫做个体,总体中所含个体的数量,称为总体的容量.从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本,样本所含个体的数量称为样本量,也称样本容量.
2.数据的获取
(1)按照收集数据的不同方法,可以将数据分为观测数据和实验数据;
(2)对总体的每个个体分别进行调查,我们称之为普查;
(3)从总体中抽取样本的过程称为抽样,通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查.
3.抽样方法
(1)在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本,且总体的每一个个体都有同样的可能性被选人样本,这种抽样方法叫做简单随机抽样;
（2）一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,先把总体分成若干个部分,然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本,这种抽样的方法称为分层随机抽样,简称分层抽样.
1.统计图表
（1）频率分布直方图;
（2）茎叶图;
（3）散点图.
2.总体的均值与方差
(1)如果总体有个数据,那么叫做总体的平均数;
(2)如果总体有个数据,则叫做总体方差,而叫做总体标准差.
3.样本的均值与方差
（1）如果样本有个数据,则样本数据的平均值;
(2)如果样本有个数据,则样本数据的方差.
4.估计总体的百分位数
当样本容量很大时,可以将数据分成100个部分,每一部分包含的数据.第百分位数记作(其中为1到100之间的整数),是将一组数据从小到大排列后,将数据分成两部分：小于或等于第百分位数的数据占,大于或等于第百分位数的数据占.
考点精讲讲练
考点一：样本空间、对立事件、互斥事件、独立事件
【典型例题】
例1．（2024·上海普陀·二模）从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A、B，白球标记为C，则它的一个样本空间可以是（ ）
A．AB,BCB．AB,AC,BC
C．AB,BA,BC,CBD．AB,BA,AC,CA,CB
【即时演练】
1．（2023·上海闵行·三模）分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ．
2．（23-24高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A表示“两个点数都是偶数”，事件B表示“两个点数都是奇数”，事件C表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A．A与B是对立事件B．A与C∩D是互斥事件
C．B与D是相互独立事件D．B与C∪D是相互独立事件
3．（2024·上海奉贤·二模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）．
A．甲与乙相互独立B．乙与丙相互独立
C．甲与丙相互独立D．乙与丁相互独立
考点二：古典概型与概率计算
【典型例题】
例1．（2024·上海·三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为 ．
例2．（2023·上海青浦·一模）2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ．
例3．（2023·上海崇明·一模）已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P (A∩B)= ．
例4．（2023·上海浦东新·模拟预测）如图是甲､乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 .

【即时演练】
1．（2023·上海闵行·二模）已知事件A与事件B互斥，如果PA=0.3，PB=0.5，那么PA∪B= ．
2（2023·上海静安·一模）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是 ．
3．从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 .
4．（2024·上海闵行·三模）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为 .
5．（2023·上海·模拟预测）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
6．（2024·上海崇明·二模）某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是 ．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）
7．（2022·上海·模拟预测）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ；
8．（2020·上海闵行·三模）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码a1，a2，a3，a4满足a1n2，s126天
总计
50岁以上（含50岁）
①
②
100
50岁以下
55
③
100
男生小青荷
女生小青荷
会说日语
8
12
会说韩语
m
n