江苏省无锡市新吴区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷(含答案与解析)

这是一份江苏省无锡市新吴区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷(含答案与解析)，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．一岁一枯荣B．锄禾日当午
C．手可摘星辰D．举头望明月
3．下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．检测某城市空气质量
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C．检测一批节能灯的使用寿命
D．检测某批次汽车的抗撞能力
4．将分式2mm−n中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．扩大6倍D．扩大9倍
5．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°
6．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
7．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A、B的对应点分别为点A′、B′，A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝95°，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
8．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．1x+1x−2=1.2B．1x+1x+2=11.2
C．1x+1x−2=11.2D．x+（x﹣2）＝1.2
9．如图，已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（ ）
A．一直增大B．保持不变
C．先增大后减小D．先减小后增大
10．如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（ ）
A．①③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．若代数式1x−1有意义，则x的取值范围是 ．
12．4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 ．
13．分式1ab与分式13a的最简公分母是 ．
14．若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x有增根，则m的值为 ．
15．如图是记录某足球队全年比赛结果（“胜”、“负”、“平”）的条形统计图和扇形统计图（不完整）：根据图中信息，该足球队全年比赛胜了 场．
16．一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是 ．
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则折痕GH的长为 ．
18．三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝BC＝14cm，DE＝2cm，DN＝1cm．已知关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合．
（1）BN＝ cm；
（2）当∠BAC＝60°时，点H到伞柄AB距离为 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：a−b+2b2a+b；
（2）解方程：4+xx−1−5=2xx−1．
20．（6分）先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x＝﹣1．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．求证：四边形AEFD是矩形．
22．（8分）为深入开展以宪法为核心的青少年法治教育，增强青少年学生的宪法意识，某中学在八年级开展了“与法同行、健康成长”法制知识竞赛（满分50分）．为了解该年级学生的竞赛成绩，拟采用以下的方式进行调查．
方式A：随机抽取该年级某班，对该班所有学生进行调查；
方式B：随机抽取该年级部分男生进行调查；
方式C：从该年级每个班任意抽取5名学生进行调查．
（1）以上的调查方式合适的是方式 ；（填A、B、C）
采用（1）中的方式，并将统计结果绘制不完整的频数分布表和频数分布直方图．
（2）a＝ ，b＝ ，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩为35分及以上的学生被认定为掌握了基础的法制知识，该年级共有学生380人，请你估计该年级掌握了基础的法制知识的人数．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1；
（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标： ．
24．（10分）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程．
（1）设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是 元，纯电新能源车的每千米行驶费用是 元；（请用含a的代数式表示）
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元，则续航里程a的值为多少？
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
25．（9分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，则（1）中菱形的面积为 （直接写出所有答案）．
26．（11分）【课本再现】
（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，AB与OA相交于点E，BC与OC相交于点F，连接EF．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，始终有AE2+EB2＝EF2，请证明这个结论．
【迁移应用】
（2）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜BC，点D是AB边的中点，E是射线AC上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F，连接EF．
（i）当点E在AC边上，点F在BC边上时，试探究线段AE，BF，EF之间的数量关系．并证明你的结论；
（ii）若AC＝3，BC＝4，设AE＝x，EF＝y，请直接写出y与x的关系．
江苏省无锡市新吴区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
【参考答案】
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据二者的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形故，此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．一岁一枯荣B．锄禾日当午
C．手可摘星辰D．举头望明月
【分析】根据随机事件的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、一岁一枯荣是必然事件，故本选项不符合题意；
B、锄禾日当午是是随机事件，故本选项不符合题意；
C、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意；
D、举头望明月是随机事件，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
3．下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．检测某城市空气质量
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C．检测一批节能灯的使用寿命
D．检测某批次汽车的抗撞能力
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A．检测某城市空气质量，适合抽样调查，故不符合题意；
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况，适合普查，故符合题意；
C．检测一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故不符合题意；
D．检测某批次汽车的抗撞能力，适合抽样调查，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4．将分式2mm−n中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．扩大6倍D．扩大9倍
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：将分式2mm−n中的m、n都扩大为原来的3倍可变为6m3m−3n=6m3(m−n)=2mm−n．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的基本性质3是解答此题的关键．
5．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，
∴∠A＞60°的反面是∠A≤60°，
∴用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°，
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．
6．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、一组对边相等且对角线互相平分的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A、B的对应点分别为点A′、B′，A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝95°，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】由旋转可得∠A＝∠A'，∠A'CA＝35°，可得∠A'＝180°﹣∠A′DC﹣∠A'CD＝180°﹣95°﹣35°＝50°，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，
∴∠A＝∠A'，∠A'CA＝35°，
∴∠A'＝180°﹣∠A′DC﹣∠A'CD＝180°﹣95°﹣35°＝50°，
∴∠A＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质、三角形内角和定理是解答本题的关键．
8．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．1x+1x−2=1.2B．1x+1x+2=11.2
C．1x+1x−2=11.2D．x+（x﹣2）＝1.2
【分析】设R1单独处理需要x小时，则R2单独处理数据的时间（x﹣2）小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程．
【解答】解：依题意得1x+1x−2=11.2，
故选：C．
【点评】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．
9．如图，已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（ ）
A．一直增大B．保持不变
C．先增大后减小D．先减小后增大
【分析】延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．
解法二：根据平行四边形AGFE的面积是三角形ADE面积的2倍于是得到三角形ADE的面积不变，进而得到平行四边形AGFE的面积就不会变．
【解答】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4，
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，∠G=∠EFP∠ADG=∠PAG=EF，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S4＝S△EFP，
∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD，
即S▱AEFG＝S▱ADPE，
又∵▱ADPE与▱ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S▱ABCD＝S▱ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故▱AEFG面积不变，
解法二：∵平行四边形AGFE的面积是三角形ADE面积的2倍（等底等高），
当点E运动时，三角形ADE的底和高都不变，
∴三角形ADE的面积不变，那么平行四边形AGFE的面积就不会变．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（ ）
A．①③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③④
【分析】根据含30°角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出△GED≌△CED（ASA），得到GE＝CE，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长AB，DC交于点H，然后证明出△ABD≌△HBD（ASA），得到AB＝HB，然后得到BF是△AHC的中位线，得到BF∥DH，然后结合等边对等角得到∠FEB＝∠FBD，然后结合AG＝2FE即可判断③；连接FD，证明出△FOB≌△COD（ASA），得到FB＝CD，然后结合FB∥CD，即可证明出四边形BCDF是平行四边形，进而可判断④；由GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，从而得到FB≠2GE，即可判断⑤．
【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°，
∴AO≠2BO，故①错误；
∵CG⊥BD，
∴∠GED＝∠CED，
∵BD平分∠ADC，
∴∠GDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△GED≌△CED（ASA），
∴GE＝CE，
∵AC中点为F，
∴EF∥AD，故②正确；
如图所示，延长AB，DC交于点H
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠HBD＝90°，
∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD，
∴△ABD≌△HBD（ASA），
∴AB＝HB，
∵点F为AC的中点，
∴BF是△AHC的中位线，
∴BF∥DH，
∴∠FBD＝∠HDE，
∵∠GDE＝∠CDE，
∴∠FBD＝∠GDE，
∵EF∥AD，
∴∠FEB＝∠GDE＝∠FBD，
∴FB＝FE，
∵EF是△AGC的中位线，
∴AG＝2FE，
∴AG＝2BF，故③正确；
如图所示，连接FD，
∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD，
∴△FOB≌△COD（ASA），
∴FB＝CD，
又∵FB∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确；
∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，
∴FB≠2GE，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②③④．
故选：D．
【点评】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．若代数式1x−1有意义，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】分式有意义，分母不等于零，即x﹣1≠0，由此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
12．4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 200 ．
【分析】根据样本容量的定义解答即可．
【解答】解：4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取200名学生进行调查，则该调查中的样本容量是200．
故答案为：200．
【点评】此题主要考查了样本容量，关键是掌握样本容量只是个数字，没有单位．
13．分式1ab与分式13a的最简公分母是 3ab ．
【分析】根据最简公分母的概念解答．
【解答】解：1ab与13a的最简公分母是3ab，
故答案为：3ab．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
14．若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x有增根，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据增根的定义求解即可．
【解答】解：xx−1+1=m1−x，
x+x﹣1＝﹣m，
x=1−m2，
∵关于x的分式方程xx−1+1=m1−x有增根，
∴x=1−m2=1，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
15．如图是记录某足球队全年比赛结果（“胜”、“负”、“平”）的条形统计图和扇形统计图（不完整）：根据图中信息，该足球队全年比赛胜了 30 场．
【分析】从两个统计图中可以得到“平”的有10场，占所有比赛结果的20%，从而可以求出表示＝比赛的总场次，再根据“胜”的占比，可求出“胜”的场次．
【解答】解：10÷20%＝50场，50×（1﹣20%﹣20%）＝30场，
故答案为：30．
【点评】考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系式正确解答的关键．
16．一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是 12cm2 ．
【分析】根据顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
【解答】解：∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF＝GH=12AC，
EH＝FG=12BD，EH∥FG∥BD
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=12BD＝3cm，EF=12AC＝4cm，
∴矩形EFGH的面积＝EH×EF＝3×4＝12cm2，
故答案为：12cm2．
【点评】本题考查了菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则折痕GH的长为 7.5 ．
【分析】过点G作GF⊥BC于F，根据轴对称的性质就可以得出BH＝DH，由勾股定理就可以得出GH的值．
【解答】解：如图，∵四边形DEGH与四边形BAGH关于GH对称，
∴四边形DEGH≌四边形BAGH，
∴DH＝BH，ED＝BA，EG＝AG，∠GHB＝∠GHD．∠E＝∠A，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DGH＝∠GHB，
∴∠DGH＝∠GHD，
∴GD＝HD．
∴GD＝DH＝BH．
∵AB＝6，BC＝8，
∴DE＝CD＝6，AD＝8．
设BH＝x，则HC＝8﹣x，由勾股定理，得x2＝（8﹣x）2+36，
解得：x=254．
∴GD＝HD=254，
∴AG=74，
∴FH=92．
在Rt△GEH中，由勾股定理，得GH=GF2+FH2=7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键．
18．三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝BC＝14cm，DE＝2cm，DN＝1cm．已知关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合．
（1）BN＝ 25 cm；
（2）当∠BAC＝60°时，点H到伞柄AB距离为 393 cm．
【分析】（1）根据关闭折伞后，点A、E、H三点重合，可知AC＝CD+DE，利用平行四边形的性质可以求出BN；
（2）根据A、E、H三点共线并且AH⊥AB，BM⊥AB，应用等边三角形和平行四边形的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，
∴AC＝CD+DE，
∴CD＝14﹣2＝12，
∴CN＝CD﹣DN＝11，
∴BN＝14+11＝25（cm），
故答案为：25．
（2）如图2，A、E、H三点共线并且AH⊥AB，
∵∠BAC＝60°，AC＝BC＝14，
∴∠ACB＝60°，
∵AC∥DE，DC∥MN，
∴∠AFE＝∠EGH＝120°，
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF＝∠GEH＝30°，
∴AE⊥AB，
∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，
∴AF＝12，MN＝BN＝25，EG＝HG＝27，
∴AH＝AE+EH＝123+273=393，
∴点H到伞柄AB距离为393cm．
故答案为：393．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是应用等边三角形和平行四边形的性质．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：a−b+2b2a+b；
（2）解方程：4+xx−1−5=2xx−1．
【分析】（1）根据分式的加减运算法则进行计算即可；
（2）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解答】解：（1）a−b+2b2a+b
=(a−b)(a+b)a+b+2b2a+b
=a2−b2+2b2a+b
=a2+b2a+b；
（2）4+xx−1−5=2xx−1，
方程两边同时乘（x﹣1），得4+x﹣5（x﹣1）＝2x，
去括号，得4+x﹣5x+5＝2x，
解得：x=32，
检验：把x=32代入x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x=32．
【点评】本题考查了解分式方程，分式的加减运算，掌握解分式方程的方法，分式的加减运算法则是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝﹣1代入进行计算即可．
【解答】解：原式=x−3x−2÷x2−9x−2
=x−3x−2•x−2(x+3)(x−3)
=1x+3，
当x＝﹣1时，原式=1−1+3=12．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．求证：四边形AEFD是矩形．
【分析】先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴平行四边形AEFD是矩形．
【点评】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定，证明四边形AEFD为平行四边形是解题的关键．
22．（8分）为深入开展以宪法为核心的青少年法治教育，增强青少年学生的宪法意识，某中学在八年级开展了“与法同行、健康成长”法制知识竞赛（满分50分）．为了解该年级学生的竞赛成绩，拟采用以下的方式进行调查．
方式A：随机抽取该年级某班，对该班所有学生进行调查；
方式B：随机抽取该年级部分男生进行调查；
方式C：从该年级每个班任意抽取5名学生进行调查．
（1）以上的调查方式合适的是方式 C ；（填A、B、C）
采用（1）中的方式，并将统计结果绘制不完整的频数分布表和频数分布直方图．
（2）a＝ 12 ，b＝ 15% ，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩为35分及以上的学生被认定为掌握了基础的法制知识，该年级共有学生380人，请你估计该年级掌握了基础的法制知识的人数．
【分析】（1）根据随机抽样要具有随机性和代表性进行求解即可；
（2）先用成绩为25≤x＜30的频数除以频率求出抽取的人数，进而求出a、b的值，再补全统计图即可；
（3）用年级人数乘以样本中掌握基础的法制知识的人数占比求出该校掌握基础的法制知识的人数即可．
【解答】解：（1）∵随机抽样要具有代表性，随机性，
∴最合适的抽取方式为方式C：从该年级每个班任意抽取5名学生进行调查，
故答案为：C；
（2）由题意得，抽取总人数为4÷10%＝40，
∴a＝40×30%＝12，b=640×100%＝15%，
故答案为：12，15%；
补全统计图如下：
（3）380×（27.5%+17.5%+30%）＝285（人），
答：估计该年级掌握了基础的法制知识的人数为285人．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，频数与频率分布表，用样本估计总体，随机抽样等等，正确读懂统计表是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1；
（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标： （−5，−3）或（1，−1）或（−3，1） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，再连线即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，连线即可；
（3）作出平行四边形即可求解．
【解答】解：（1）△A1B1C1，如图1所示：
（2）△A2B2C2，如图所示：
（3）由图可知点D的坐标为：（﹣5，﹣3）或（1，﹣1）或（﹣3，1）．
故答案为：（−5，−3）或（1，−1）或（−3，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平行四边形的性质，解答本题的关键要熟练掌握旋转的性质．
24．（10分）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程．
（1）设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是 400a 元，纯电新能源车的每千米行驶费用是 48a 元；（请用含a的代数式表示）
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元，则续航里程a的值为多少？
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
（3）根据燃油车年行驶费用+年其它费用大于新能源车年行驶费用+年其它费用列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）燃油车每千米行驶费用为50×8a=400a（元），
纯电新能源车每千米行驶费用为80×0.6a=48a（元），
故答案为：400a，48a；
（2）400a−48a=0.55，
解得：a＝640，
经检验，a＝640是分式方程的解，且符合题意，
答：续航里程a的值为640千米；
（3）由（2）知，燃油车的每千米行驶费用是400640=58（元），
纯电新能源车的每千米行驶费用是48640=340（元），
设每年形势里程为x千米时，新能源车的年费用更低，
由题意得：58x+4000＞340x+7300，
解得：x＞6000，
∴每年行驶里程大于6000时，新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、列代数式，列不等式，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）列出不等式．
25．（9分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，则（1）中菱形的面积为 20或24或503 （直接写出所有答案）．
【分析】（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD；
（2）分别进行三个菱形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：（1）如图①②③；
；
（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20；
图②中，AB＝5，AO＝4，则BO=52−42=3，
∴BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积=12×6×8=24；
图③中，作AH⊥BC于H，
设菱形的边长为x，
∵AH＝4，AB＝5，
∴BH=52−42=3，
∴CH＝x﹣3，
∴42+（x﹣3）2＝x2，
解得x=256，
∴菱形ACBD的面积=256×4=503，
故答案为：20或24或503．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．
26．（11分）【课本再现】
（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，AB与OA相交于点E，BC与OC相交于点F，连接EF．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，始终有AE2+EB2＝EF2，请证明这个结论．
【迁移应用】
（2）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜BC，点D是AB边的中点，E是射线AC上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F，连接EF．
（i）当点E在AC边上，点F在BC边上时，试探究线段AE，BF，EF之间的数量关系．并证明你的结论；
（ii）若AC＝3，BC＝4，设AE＝x，EF＝y，请直接写出y与x的关系．
【分析】（1）证明△AOE≌△BOF，得出AE＝BF，利用Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2则可得出答案；
（2）（i）作矩形ACBH，证出△AED△CGD，得出AE＝BG、DE＝DG、EF＝GF，在Rt△FBG中，根据BF2+BG2＝GF2则可得出答案；
（ii）分两种情况，利用（1）（i）结果和勾股定理进行变换可得出答案．
【解答】解：（1）证明：如图1，四边形ABCD、A′B′C′O都是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠EOF＝∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
∴BE＝CF，连接EF，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴AE2+EB2＝EF2．
（2）（i）如图2，结论：AE2+BF2＝EF2，
证明：作矩形ACBH，延长ED交BD于点G，连接FG，如图：
点D是矩形ACBH的中心，
又点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在矩形ACBH中，∠BCA＝90°，AC∥BD
∠DAE＝∠DBG，∠AED＝∠BGD，
∴△AED△CGD（AAS）；
∴AE＝BG，DE＝DG，
又∠DEF＝90°，
∴EF＝GF，
在矩形ABCH中，∠FBD＝90°，
∴在Rt△FBG中，BF2+BG2＝GF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
（ii）解：当E，F分别在AB和BC上时，如图3（a），由（2）的结论可得AE2+CF2＝EF2，在Rt△EBF中，由勾股定理得BE2+BF2＝EF2，
∴AE2+CF2＝BE2+BF2，
设AE＝x，EF＝y 则BE＝3﹣x，
∴（3﹣x）2+BF2＝x2+（4﹣BF2），
∴BF＝
25−6x8
∵BE2+BF2＝EF2，
∴y2＝x2+（
25−6x8）2
∴y=54x2−3x+254
②如图3（b），点E，F分别在线段AB，BC的延长线上时，
由（2）的结论可得AE2+CF2＝EF2，在Rt△EBF中，由勾股定理得
BE2+BF2＝EF2，
•．AE2+CF2＝BE2+BF2，
设AE＝x，则BE＝x﹣3，
∴x2+CF2＝（x﹣3）2+（4+CF）2，
∴CF＝
6x−258，
∵BE2+BF2＝EF2，
∴（x﹣3）2+（4+
6x−258）2＝y2
∴y＝
54x2−3x+254
综上所述：y与x的关系为y=54x2−3x+254
2
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键．
成绩x分
频数
百分比
25≤x＜30
4
10%
30≤x＜35
6
b
35≤x＜40
11
27.5%
40≤x＜45
a
30%
45≤x≤50
7
17.5%
燃油车
新能源车
油箱容积：50升
电池电量：80千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
D
D
C
C
B
D
成绩x分
频数
百分比
25≤x＜30
4
10%
30≤x＜35
6
b
35≤x＜40
11
27.5%
40≤x＜45
a
30%
45≤x≤50
7
17.5%
燃油车
新能源车
油箱容积：50升
电池电量：80千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时